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Lista, Pongale wendy

asdayuyi Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 22 2015, 05:34 PM Publicado: #1
Maestro Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 81 Registrado: 10-November 12 Miembro Nº: 112.735 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	P1 Dos circunferencias $TEX: $C(O_1,r)$$ y $TEX: $C(O_2,R)$$ se intersectan en dos puntos $TEX: $A$$ y $TEX: $B$$ . Sea $TEX: $\overline{O_1A}\cap C(O_2,R)=C$$ , y $TEX: $\overline{O_2A}\cap C(O_1,r)=D$$ con $TEX: $C$$ y $TEX: $D$$ distintos de A. Sea $TEX: $E$$ un punto en $TEX: $C(O_1,r)$$ tal que $TEX: $\overline{BE}//\overline{O_2D}$$ . Si $TEX: $\overline{DE}//\overline{O_1A}$$ , pruebe que $TEX: $\angle{DCO_2}=90$$ . P2 Sea $TEX: $P(X)=X^n-\alpha\cdot X^{n-1}+\displaystyle\sum_{i=0}^{n-2} a_i\cdot X^i$$ un polinomio de grado $TEX: $n\geq 2$$ con las siguientes caracteristicas: Todas sus raices son reales $TEX: $P(\alpha)>1$, con $\alpha<\frac{1}{n}$$ Pruebe que $TEX: $P(X)$$ tiene alguna raíz mayor a $TEX: $\alpha$$ . P3 Encuentre todas las funciones $TEX: $f:\mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R}$$ tales que $TEX: $f(xy+f(x))=xf(y)+f(x)$$ Para todo par de numeros reales $TEX: $x$$ e $TEX: $y$$ .

Niklaash Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 22 2015, 09:03 PM Publicado: #2
Doctor en Matemáticas Grupo: Colaborador Silver Mensajes: 193 Registrado: 17-August 12 Desde: Loncuma :3 Miembro Nº: 110.077 Nacionalidad: Sexo:	Pal P3 Haciendo $TEX: $x=0$, se tiene que $f(f(0))=f(0)$$ Para $TEX: $x=f(0)$$ e $TEX: $y=0$$ y usando el hecho mencionado anteriormente, $TEX: $f(f(f(0)))=f(0)^2+f(f(0)) \Leftrightarrow f(0)=f(0)^2+f(0) \Rightarrow f(0)=0$$ de donde $TEX: $f(f(x))=f(x)$$ , con esto, y haciendo $TEX: $x=y$$ en la ecuacion original, se sigue que $TEX: $f(x^2+f(x))=xf(x)+f(x)$$ y si $TEX: $x=f(y)$$ en la ecuacion original y en esta ultima igualdad obtenida se desprende $TEX: $f(yf(y)+f(y))=f(y)^2+f(y)$$ y $TEX: $f(f(y)^2+f(y))=f(y)^2+f(y)$$ , luego $TEX: $f(f(y)^2+f(y))=f(yf(y)+f(y))$$ () Por otro lado, si $TEX: $f(x)=f(y)$$ , entonces $TEX: $f(xy+f(x))=f(xy+f(y)) \Rightarrow xf(x)=yf(x)$$ , de aqui, $TEX: $f(x)=0$$ o $TEX: $x=y$$ : Si $TEX: $f(x)=0$$ , esta es solucion de la ecuacion y para $TEX: $f(x)=f(y)$$ se tiene que $TEX: $f$$ es inyectiva, luego de () se tiene que $TEX: $f(y)^2+f(y)=yf(y)+f(y) \Rightarrow f(y)(f(y)-y)=0 \Rightarrow f(y)=y$$ Luego las unicas funciones que cumplen lo pedido son $TEX: $f(x)=0$$ y $TEX: $f(x)=x$$ Besitos Mensaje modificado por Niklaash el Oct 10 2015, 05:52 PM

Tobal.alb Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 23 2015, 09:55 AM Publicado: #3
Maestro Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 133 Registrado: 9-June 15 Desde: Valporro - Puerto Ron Miembro Nº: 138.365 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	P1 Veamos que el cuadrilátero $TEX: $DCO_2O_1$$ es cíclico (I) y además por paralelismo tendremos que $TEX: $\angle O_2CO_1=\angle ADO_1=\angle BAO_2=\angle ABO_2$$ así por LAL $TEX: $\triangle O_2CA \simeq \triangle O_2CA \Longrightarrow \overline {AC}=\overline {AB} \wedge \angle DO_2C=\angle BO_2D$$ , luego por LAL nuevamente se tendrá que $TEX: $\triangle DCO_2 \simeq \triangle DBO_2 \Longrightarrow \angle DBO_2=\angle DCO_2$$ (II). Ahora veamos que $TEX: $\angle ABD=\dfrac{\angle DO_1A}{2}$$ y $TEX: $\angle ABC=\dfrac {\angle CO_2A}{2}$$ , así por el hecho (I) concluimos que $TEX: $\angle DBC=\angle DO_2C$$ y por tanto el cuadrilátero $TEX: $DCO_2B$$ es cíclico, luego, haciendo uso de (II) $TEX: $\angle DBO_2+\angle DCO_2=180º \Longrightarrow 2\angle DCO_2=180º \Longrightarrow \angle DCO_2=90º$$ Holas.png ( 35.7k ) Número de descargas: 1

asdayuyi Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 1 2015, 03:21 PM Publicado: #4
Maestro Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 81 Registrado: 10-November 12 Miembro Nº: 112.735 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Up Intente el P2

Useless Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 27 2015, 08:31 PM Publicado: #5
Principiante Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 2 Registrado: 22-August 15 Miembro Nº: 139.917	P2: Llamemos $TEX: \( x_1, x_2, \dots, x_n \)$ a las raíces de dicho polinomio, reales por enunciado. Supongamos además que ninguna de ellas es mayor que $TEX: \( \alpha \)$ . Por Cardano-Vieta, tenemos que $TEX: \( x_1+x_2+\dots+x_n=\alpha \)$ Ya que el coeficiente principal de $TEX: \( P(x) \)$ es 1, podemos reescribir el polinomio como sigue: $TEX: \( P(x)=(x-x_1)(x-x_2) \dots (x-x_n) \)$ Reemplazando $TEX: \( x=\alpha \)$ en la expresión de arriba, y usando al enunciado, tenemos: $TEX: \( P( \alpha )=(\alpha -x_1)(\alpha -x_2) \dots (\alpha -x_n) > 1 \)$ Ya que cada uno de los paréntesis es positivo, podemos aplicar MA-MG sin problemas $TEX: \( \displaystyle \frac{ (\alpha -x_1) + (\alpha -x_2) + \dots + (\alpha -x_n) }{n} \geq \sqrt[n]{(\alpha -x_1)(\alpha -x_2) \dots (\alpha -x_n)} \)$ $TEX: \( \displaystyle \frac{ (\alpha -x_1) + (\alpha -x_2) + \dots + (\alpha -x_n) }{n} \geq \sqrt[n]{1} \)$ $TEX: \( \displaystyle \frac{ (\alpha -x_1) + (\alpha -x_2) + \dots + (\alpha -x_n) }{n} \geq 1 \)$ $TEX: \( \displaystyle n\alpha - \alpha \geq n \)$ $TEX: \( \displaystyle \alpha \geq \frac{n}{n-1} \)$ Lo que es evidentemente falso, ya que contradice al enunciado. Por lo tanto, hay al menos una raíz mayor a $TEX: \( \alpha \)$

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