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De olimpiada

pprimo Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 17 2015, 02:16 PM Publicado: #1
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 817 Registrado: 21-February 14 Miembro Nº: 127.064	Les dejo algunos problemitas de olimpiadas, para que disfruten 1. Sean $TEX: $x$$ e $TEX: $y$$ números reales que satisfacen $TEX: $$x^{4}y^{5}+y^{4}x^{5}=810$$$ y $TEX: $$x^{3}y^{6}+y^{3}x^{6}=945$$$ Encontrar el valor de $TEX: $$2x^{3}+\left( xy \right)^{3}+2y^{3}$$$ 2. Sean $TEX: $a$$ , $TEX: $b$$ , $TEX: $c$$ números reales positivos tales que $TEX: $$a + b + c = 1$$$ . Pruebe que $TEX: $$\frac{7+2b}{1+a}+\frac{7+2c}{1+b}+\frac{7+2a}{1+c}\ge \frac{69}{4}$$$ 3. Sean $TEX: $x$$ , $TEX: $y$$ , $TEX: $z$$ números reales no negativos tales que $TEX: $$x + y + z = xyz$$$ . Pruebe que $TEX: $$2\left( x^{2}+y^{2}+z^{2} \right)\ge 3\left( x+y+z \right)$$$ 4. Todas las letras en la palabra VUQAR son diferentes y están en el conjunto {1, 2, 3, 4, 5}. Encontrar todas las soluciones de la ecuación $TEX: $$\frac{\left( V+U+Q+A+R \right)^{2}}{V-U-Q+A+R}=V^{U^{Q^{A^{R}}}}$$$ 5. Sean $TEX: $a$$ , $TEX: $b$$ , $TEX: $c$$ números reales positivos tales que $TEX: $$a^{2}+b^{2}+c^{2}=48$$$ . Pruebe que $TEX: $$a^{2}\sqrt{2b^{3}+16}+b^{2}\sqrt{2c^{3}+16}+c^{2}\sqrt{2a^{3}+16}\le 24^{2}$$$ 6. Encontrar las soluciones enteras a la ecuación $TEX: $$x^{2}=y^{2}\left( x+y^{4}+2y^{2} \right)$$$ 7. Sean $TEX: $a$$ , $TEX: $b$$ , $TEX: $c$$ números reales positivos. Pruebe que se cumple $TEX: $$\left( \left( 3a^{2}+1 \right)^{2}+2\left( 1+\frac{3}{b} \right)^{2} \right)\left( \left( 3b^{2}+1 \right)^{2}+2\left( 1+\frac{3}{c} \right)^{2} \right)\left( \left( 3c^{2}+1 \right)^{2}+2\left( 1+\frac{3}{a} \right)^{2} \right)\ge 48^{3}$$$ 8. Sean $TEX: $a$$ , $TEX: $b$$ enteros positivos que satisfacen $TEX: $$\frac{ab+1}{a+b}<\frac{3}{2}$$$ El máximo valor posible de $TEX: $$\frac{a^{3}b^{3}+1}{a^{3}+b^{3}}$$$ es $TEX: $$\frac{p}{q}$$$ , donde $TEX: $p$$ y $TEX: $q$$ son números primos, encontrar $TEX: $$p + q$$$ 9. Encontrar todas los polinomios $TEX: $$P\left( x \right)$$$ con coeficientes reales que satisfacen $TEX: $$P\left( x \right)-10=\sqrt{P\left( x^{2}+3 \right)-13}$$$ para todo $TEX: $$x\ge 0$$$ 10. Sean $TEX: $a$$ , $TEX: $b$$ , $TEX: $c$$ enteros positivos tales que $TEX: $$\left( \left( \sqrt{2}-1 \right)a+c \right)\left( \left( \sqrt{2}-1 \right)b+c \right)=17c$$$ , Encontrar el valor de $TEX: $ab$$ 11. Sean $TEX: $x$$ , $TEX: $y$$ números reales tales que $TEX: $$x-3\sqrt{x+1}=3\sqrt{y+2}-y$$$ Encontrar el máximo valor de $TEX: $$x+y$$$ Mensaje modificado por pprimo el Jul 28 2015, 12:02 AM

Adrianocor Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 17 2015, 06:16 PM Publicado: #2
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 325 Registrado: 18-March 14 Miembro Nº: 127.725 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	P1 Se tiene: (1) $TEX: \[\left ( xy \right )^{3}\left ( x^{3}+y^{3} \right )=945 \wedge x^{3}+y^{3}=(x+y)(x^{2}+xy+y^{2})\Rightarrow (x+y) =\frac{945}{(xy)^{3}(x^{2}+xy+y^{2})}\]<br />$ y: (2) $TEX: \[(xy)^{4}(x+y)=810\Rightarrow (x+y)=\frac{810}{(xy)^{4}}\]<br />$ igualando: $TEX: \[810(x^{2}-xy+y^{2})=945xy\]<br />$ $TEX: \[810(x^{2}+2xy+y^{2})=3375xy\Rightarrow 810(x+y)^{2}=15^{3}xy\Rightarrow (x+y)^{2}=\frac{15^{3}}{810}xy\]<br />$ y usando (2) para (x+y)^2 = $TEX: \[(x+y)^{2}=\frac{810^{2}}{(xy)^{8}}=\frac{15^{3}}{810}xy\Rightarrow (xy)^{3}=\frac{810}{15}=54\]$ y usando $TEX: \[x^{3}+y^{3}=\frac{945}{(xy)^{3}}=\frac{945}{54}=17.5\]<br />$ luego lo pedido es: $TEX: \[2x^{3}+(xy)^{3}+2y^{3}=(xy)^{3}+2(x^{3}+y^{3})=54+17.5\cdot 2=89\]<br />$

juancodmw Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 17 2015, 06:40 PM Publicado: #3
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 783 Registrado: 23-April 13 Desde: Constitución Miembro Nº: 118.027 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	P3 se sabe que $TEX: $x^{2}+y^{2}+z^{2}\geq xy+xz+yz\Longrightarrow 3(x^{2}+y^{2}+z^{2})\geq (x+y+z)^{2}$$ $TEX: $2(x^{2}+y^{2}+z^{2})\geq \dfrac{2(x+y+z)^{2}}{3}$$ (i) por MA-MG, $TEX: $x+y+z\geq 3\sqrt[3]{xyz}\Longrightarrow x+y+z\geq 3\sqrt[3]{x+y+z}\Longrightarrow x+y+z\geq 3\sqrt{3}$$ (ii) multiplicamos (i) y (ii): $TEX: $2(x^{2}+y^{2}+z^{2})\geq 2\sqrt{3}(x+y+z)>3(x+y+z) \blacksquare$$ --------------------

Tobal.alb Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 17 2015, 07:40 PM Publicado: #4
Maestro Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 133 Registrado: 9-June 15 Desde: Valporro - Puerto Ron Miembro Nº: 138.365 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	P2 Iremos por partes: Por Cauchy: $TEX: $\dfrac{1}{1+a}+\dfrac{1}{1+b}+\dfrac{1}{1+c} \geq \dfrac{9}{4}$\\<br />$\Rightarrow \dfrac{7}{1+a}+\dfrac{7}{1+b}+\dfrac{7}{1+c} \geq \dfrac{63}{4}$$ (I) Ahora veamos que: $TEX: $\dfrac{b}{1+a}+\dfrac{c}{1+b}+\dfrac{a}{1+c}=\dfrac{b^{2}}{b+ba}+\dfrac{c^{2}}{c+bc}+\dfrac{a^{2}}{a+ac}$$ Así por Cauchy nuevamente: $TEX: $\dfrac{b}{1+a}+\dfrac{c}{1+b}+\dfrac{a}{1+c} \geq \dfrac{(a+b+c)^{2}}{a+b+c+ab+bc+ca}$\\<br />$\Rightarrow \dfrac{2b}{1+a}+\dfrac{2c}{1+b}+\dfrac{2a}{1+c} \geq \dfrac {2}{1+ab+bc+ca}$$ Ahora, usando el hecho de que $TEX: $a^{2}+b^{2}+c^{2} \geq ab+bc+ca$$ completando el cuadrado: $TEX: $\dfrac{1}{3} \geq ab+bc+ca$\\<br />$\Rightarrow \dfrac{4}{3} \geq 1+ab+bc+ca$\\<br />$\Rightarrow \dfrac{2}{1+ab+bc+ca} \geq \dfrac{6}{4}$$ Luego por transitividad $TEX: $\dfrac{2b}{1+a}+\dfrac{2c}{1+b}+\dfrac{2a}{1+c} \geq \dfrac{6}{4}$$ (II). Luego sumando (I) y (II) obtenemos $TEX: $\dfrac{7+2b}{1+a}+\dfrac{7+2c}{1+b}+\dfrac{7+2a}{1+c} \geq \dfrac{69}{4}$$ . Edit: Me faltó tipear un +1 en el paso antes de concluir por transitividad y no me deja modificar Edit2: juanco :* Mensaje modificado por Tobal.alb el Jul 17 2015, 07:50 PM

juancodmw Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 17 2015, 07:42 PM Publicado: #5
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 783 Registrado: 23-April 13 Desde: Constitución Miembro Nº: 118.027 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	P2 $TEX: $=\dfrac{2(1+b)}{1+a}+\dfrac{5}{1+a}+\dfrac{2(1+c)}{1+b}+\dfrac{5}{1+b}+\dfrac{2(1+a)}{1+c}+\dfrac{5}{1+c}$$ $TEX: $=2\left(\dfrac{1+b}{1+a}+\dfrac{1+c}{1+b}+\dfrac{1+a}{1+c}\right)+5\left(\dfrac{1}{1+a}+\dfrac{1}{1+b}+\dfrac{1}{1+c}\right)$$ por medias: $TEX: $\dfrac{1+b}{1+a}+\dfrac{1+c}{1+b}+\dfrac{1+a}{1+c}\geq 3 \Longrightarrow 2\left(\dfrac{1+b}{1+a}+\dfrac{1+c}{1+b}+\dfrac{1+a}{1+c}\right)\geq 6$$ (i) $TEX: $\dfrac{1}{1+a}+\dfrac{1}{1+b}+\dfrac{1}{1+c}\geq \dfrac{9}{a+b+c+3}=\dfrac{9}{4}$$ $TEX: $\Longrightarrow 5\left(\dfrac{1}{1+a}+\dfrac{1}{1+b}+\dfrac{1}{1+c}\right)\geq \dfrac{45}{4}$$ (ii) sumamos (i) y (ii) y estamos. loyola qlo akjsakjsa --------------------

pprimo Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 28 2015, 12:03 AM Publicado: #6
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 817 Registrado: 21-February 14 Miembro Nº: 127.064	subí dos problemitas mas, disfruten (:

Adrianocor Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 29 2015, 07:40 PM Publicado: #7
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 325 Registrado: 18-March 14 Miembro Nº: 127.725 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(pprimo @ Jul 17 2015, 04:16 PM) 11. Sean $TEX: $x$$ , $TEX: $y$$ números reales tales que $TEX: $$x-3\sqrt{x+1}=3\sqrt{y+2}-y$$$ Encontrar el máximo valor de $TEX: $$x+y$$$ Arreglando queda: $TEX: \[(x+1) +(y+2)-3=3(\sqrt{x+1}+\sqrt{y+2})\]<br />$ Sea a=x+1 y b=y+2 tenemos: $TEX: \[a +b-3=3(\sqrt{a}+\sqrt{b})\Leftrightarrow \frac{a+b}{3}-1=\sqrt{a}+\sqrt{b}\]<br />$ $TEX: \[\Leftrightarrow \frac{\left ( a+b \right )^{2}}{9}-\frac{2}{3}(a+b)+1=(a+b)+2\sqrt{ab}\]<br />$ $TEX: \[\Leftrightarrow \frac{\left ( a+b \right )^{2}}{9}-\frac{2}{3}(a+b)+1\leq (a+b)+(a+b)\]<br />$ y haciendo a+b=t se llega a: $TEX: \[t^{2}-24t+9=\left ( t-3(4-\sqrt{15}) \right )\left ( t-3(4+\sqrt{15}) \right )\leq 0\Rightarrow t\leq 3(4+\sqrt{15})\]<br />$ con lo que $TEX: \[t=a+b=x+y+3\leq 12+4\sqrt{15}\Rightarrow x+y\leq 9+4\sqrt{15}\]<br />$

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