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desigualdá, propuesto

juancodmw Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 15 2015, 11:52 AM Publicado: #1
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 783 Registrado: 23-April 13 Desde: Constitución Miembro Nº: 118.027 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	Sean $TEX: $x,y\in \mathbb{R^{+}}$$ tales que $TEX: $x,y>1$$ , demuestre que $TEX: $\dfrac{x^{2}}{y-1}+\dfrac{y^{2}}{x-1}\geq 8$$ --------------------

pprimo Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 15 2015, 01:45 PM Publicado: #2
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 817 Registrado: 21-February 14 Miembro Nº: 127.064	Primera solucion, hacemos $TEX: $$\left( x-1,y-1 \right)=\left( a,b \right)>0$$$ por media aritmetica-geometrica $TEX: $$\frac{\left( a+1 \right)^{2}}{b}+\frac{\left( b+1 \right)^{2}}{a}=\frac{a^{2}+2a+1}{b}+\frac{b^{2}+2b+1}{a}\ge 8\sqrt[8]{\frac{a^{2}}{b}\cdot \frac{a}{b}\cdot \frac{a}{b}\cdot \frac{1}{b}\cdot \frac{b^{2}}{a}\cdot \frac{b}{a}\cdot \frac{b}{a}\cdot \frac{1}{a}}=8$$$

pprimo Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 15 2015, 01:57 PM Publicado: #3
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 817 Registrado: 21-February 14 Miembro Nº: 127.064	sin el cambio, arreglando un poco la expresion y nuevamente por la desigualdad entre las medias $TEX: $$\frac{x^{2}}{y-1}+\frac{y^{2}}{x-1}=\frac{\left( x-1 \right)^{2}}{y-1}+\frac{x-1}{y-1}+\frac{\left( y-1 \right)^{2}}{x-1}+\frac{y-1}{x-1}+\frac{x-1}{y-1}+\frac{1}{y-1}+\frac{y-1}{x-1}+\frac{1}{x-1}\ge 8$$$

juancodmw Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 15 2015, 02:06 PM Publicado: #4
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 783 Registrado: 23-April 13 Desde: Constitución Miembro Nº: 118.027 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	correcto, mi solucion es igual a la primera. saludos --------------------

Tobal.alb Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 23 2015, 09:40 PM Publicado: #5
Maestro Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 133 Registrado: 9-June 15 Desde: Valporro - Puerto Ron Miembro Nº: 138.365 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	Otra Veamos que por MA-MG $TEX: $\dfrac{x^{2}}{y-1}+\dfrac{y^{2}}{x-1} \geq 2\dfrac{xy}{\sqrt {(x-1)(y-1)}}$$ . Ahora, es un hecho que $TEX: $(x-2)^{2}\geq 0 \Longrightarrow \dfrac{x^{2}}{x-1} \geq 4 \Longrightarrow \dfrac{x}{\sqrt{x-1}} \geq 2 $$ , análogamente tendremos que $TEX: $\dfrac{y}{\sqrt{y-1}} \geq 2$$ , de donde $TEX: $\dfrac{2xy}{\sqrt{(x-1)(y-1)}} \geq 8$$ , así por transitividad se tiene lo pedido.

Kaissa Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 26 2015, 04:30 PM Publicado: #6
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 9.897 Registrado: 6-April 08 Miembro Nº: 19.238 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	$TEX: $ $\\<br />$(x-2)^{2}\geq0\Longrightarrow x^{2}\geq4x-4\Longrightarrow \dfrac{x^{2}}{x-1}\geq4$ porque $x-1>0$.\\<br />An\'alogo para $y$.\\<br />Sumando obtenemos lo pedido.$ Mensaje modificado por Kaissa el Jul 26 2015, 04:31 PM -------------------- Este es un extracto de Qué es fmat by Kenshin. La pregunta para ti estimado(a) lector(a) es... ¿Qué haces tu para que ésto se cumpla?

Tobal.alb Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 26 2015, 04:57 PM Publicado: #7
Maestro Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 133 Registrado: 9-June 15 Desde: Valporro - Puerto Ron Miembro Nº: 138.365 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	CITA(Kaissa @ Jul 26 2015, 04:30 PM) $TEX: $ $\\<br />$(x-2)^{2}\geq0\Longrightarrow x^{2}\geq4x-4\Longrightarrow \dfrac{x^{2}}{x-1}\geq4$ porque $x-1>0$.\\<br />An\'alogo para $y$.\\<br />Sumando obtenemos lo pedido.$ El $TEX: $x^{2}$$ tiene como denominador $TEX: $y-1$$

vocin Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 13 2015, 07:02 PM Publicado: #8
Dios Matemático Supremo Grupo: Colaborador Silver Mensajes: 648 Registrado: 26-October 13 Desde: Tokyo-3 Miembro Nº: 123.749 Nacionalidad: Sexo:	CITA(Tobal.alb @ Jul 26 2015, 05:57 PM) El $TEX: $x^{2}$$ tiene como denominador $TEX: $y-1$$ Entonces hagamos trampa: $TEX: \( (x^2, y^2) \)$ y $TEX: \( \frac{1}{x-1}, \frac{1}{y-1} \)$ están ordenadas de maneras opuestas, usando reordenamiento y transitividad concluímos. (Era por no botar la solución a la basura jajja) -------------------- Pro Tip: Es siempre recomendable saltarse los posts de Insanee/Legition I wish, that I could turn back time 'cos now the guilt is all mine can't live without the trust from those you love I know we can't forget the past you can't forget love & pride because of that, it's killing me inside

pprimo Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 5 2016, 07:52 AM Publicado: #9
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 817 Registrado: 21-February 14 Miembro Nº: 127.064	CITA(Kaissa @ Jul 26 2015, 04:30 PM) $TEX: $ $\\<br />$(x-2)^{2}\geq0\Longrightarrow x^{2}\geq4x-4\Longrightarrow \dfrac{x^{2}}{x-1}\geq4$ porque $x-1>0$.\\<br />An\'alogo para $y$.\\<br />Sumando obtenemos lo pedido.$ jajajaja 2do fail, en la misma desigualdad xD http://www.fmat.cl/index.php?showtopic=548...mp;#entry706489 vamos kaissa tu puedes el tercer intento siempre es el vencedor jejeje la tercera es la vencida Mensaje modificado por pprimo el Jan 8 2016, 02:04 PM

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