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Otro de límites

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nhnsn Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 9 2015, 03:13 AM Publicado: #1
Maestro Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 83 Registrado: 12-August 14 Miembro Nº: 131.373 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Hola, les dejo otro ejercicio de límites, este del "Introduction to Real analysis" de R. Bartle. La verdad creo que la solución es correcta así que lo dejo como "propuesto". $TEX: <br /><br /><br />\setlength{\parskip}{3mm}<br /><br />Sean $A\subseteq \mathbb{R}$, $c$ punto de acumulación de $A$ y $f,g: A \to \mathbb{R}$. También, $f(x)\ge 0 \, \forall x\in A \,$ y $g(x)=\sqrt{f(x)}$. Demostrar que si $\displaystyle \lim_{x\to c}f(x)$ existe entonces $\sqrt{\displaystyle \lim_{x\to c}f(x)}=\displaystyle \lim_{x \to c} g(x)$.$ Solución: $TEX: \setlength{\parskip}{3mm}<br /><br />Sea $\displaystyle \lim_{x\to c}f(x)=L$. Como $f(x)\ge 0$, $L\ge 0$. Separemos en dos casos entonces:<br /><br />(i) $L=0$<br /><br />Entonces dado $\varepsilon>0$.....etc.; $\|[g(x)]^2\|<\varepsilon^2 \implies \displaystyle \lim_{x\to c}g(x)=0=\sqrt{0}$.<br /><br />(ii)$L>0$.<br /><br />Dado $\varepsilon>0 \exists \, \delta>0 \, ; x\in A, 0<\|x-c\|<\delta\implies \|f(x)-L\|<\varepsilon \cdot \sqrt{L}$<br /><br />Como $g(x)=\sqrt{f(x)}$ para todo $x$ en $A$, $f(x)=[g(x)]^2$. Luego<br /><br />$\|f(x)-L\|<\varepsilon \cdot \sqrt{L}$ <br /><br />$\implies \|g(x)-\sqrt{L}\|\|g(x)+\sqrt{L}\|<\varepsilon \cdot \sqrt{L}$ \ \ \ \textbf{(1)}<br /><br />Como $f(x) \ge 0$, $g(x) \ge 0$. Sumando $\sqrt{L}$ a ambos lados, se llega a $\sqrt{L}\le \|\sqrt{L}+g(x)\|$ \ \ \ \textbf{(2)}<br /><br />Multiplicando \textbf{(1)} con \textbf{(2)}, y simplificando se llega a que $\|\sqrt{L}-g(x)\|<\varepsilon$ siempre que se cumpla que $X\in A$ y $0<\|x-c\|<\delta$. Así, $\displaystyle \lim_{x \to c} g(x)=\sqrt{L}=\sqrt{\displaystyle \lim_{x\to c}f(x)}$.$ $TEX: \setlength{\parskip}{3mm}<br /><br />\underline{Bonus Track: Aplicación}<br /><br />Ejercicios del tipo: Calcule $\displaystyle \lim_{x\to 2}\sqrt{\dfrac{2x+1}{x+3}}$.[Dominio: $\mathbb{R}^{+}-{3}$]<br /><br />En este caso el g(x) sería toda la función y la cantidad subradical sería el $f(x)$. Sabemos que $f(x)$ converge y que $f(x)\ge 0$ en todo el dominio, así que se puede aplicar el teorema:<br /><br /><br />$\displaystyle \lim_{x\to 2}\sqrt{\dfrac{2x+1}{x+3}}=\sqrt{\displaystyle \lim_{x\to 2}\dfrac{2x+1}{x+3}}=\sqrt{5/5}=1$.<br />$ La verdad no lo encontré tan difícil, pero sí muy importante por la aplicación. Mensaje modificado por nhnsn el Jul 9 2015, 03:23 AM