¿Está bien?, límite de una función

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¿Está bien?, límite de una función

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nhnsn Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 8 2015, 01:26 AM Publicado: #1
Maestro Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 83 Registrado: 12-August 14 Miembro Nº: 131.373 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Hola! Bueno, quería saber si está correcta(creo que sí, pero nunca se sabe) esta demostración que hice de un ejercicio del Lima(creo que el 3 de límites) o si se puede mejorar o abreviar. Gracias de antemano $TEX: \setlength{\parskip}{3mm}<br /><br />Sean $X=Y\cup Z$, $a\in Y'\cap Z'$, $f:X\rightarrow \mathbb{R}$, $g=f\|Y$ y $h=f\|Z$. Luego se cumple que:<br /><br />Si $\displaystyle \lim_{x\to a}g(x)=\displaystyle \lim_{x\to a}h(x)=L$, entonces $\displaystyle \lim_{x\to a}f(x)=L$<br /><br />Demostración: <br /><br />Primero notemos que $a\in X'$: puesto que $a\in Y'$, dado $\eta>0$, $\exists y\in Y; 0<\|y-a\|<\eta$. Como $Y\subseteq X$, entonces $y\in X$, implicando $a\in X'$.<br /><br />Ahora apliquemos la definición de límite tanto a $h$ como a $g$:<br /><br />Dado $\varepsilon>0 \exists \, \delta_{1},\delta{2}>0 \,$ tales que $y\in Y, 0<\|y-a\|<\delta_1\implies \|g(y)-L\|<\dfrac{\varepsilon}{2}$ y $z\in Z, 0<\|z-a\|<\delta_2 \implies \|h(z)-L\|<\dfrac{\varepsilon}{2}$. <br /><br />Como $g=f\|Y$, se puede remplazar $g(y)$ por $f(y)$. También se puede hacer lo mismo con $h(z)$. <br />Tomemos entonces $\delta=\min(\delta_1, \delta_2)$ y entonces se cumple que $y\in Y, z\in Z, 0<\|y-a\|<\delta, 0<\|z-a\|<\delta \implies \|f(y)-f(z)\|\le\|f(y)-L\|+\|f(z)-L\|<\varepsilon$. Así tomando $b,c\in X\cap (a-\delta, a+\delta)$ con $b,c\not =a$, se pueden dar 3 casos:<br /><br />(i) Ambos b y c pertenecen a Y. En cuyo caso es evidente que $\|f(b)-f©\|<\varepsilon$.<br /><br />(ii) Ambos pertenecen a Z, implicando lo mismo que (i)<br /><br />(iii) Uno pertenece a Z y el otro a Y. Por lo que hemos visto, esto implica $\|f(b)-f©\|<\varepsilon$.<br /><br />Por lo tanto f es de Cauchy, lo que significa que converge. Puesto que $g=f\|Y$, con $a\in Y'$, se tiene que $f$ también converge a $L$.<br />$

nacharon Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 8 2015, 01:08 PM Publicado: #2
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 321 Registrado: 25-February 13 Miembro Nº: 115.593 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	Con X' se refieren al interior de X?

nhnsn Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 8 2015, 02:07 PM Publicado: #3
Maestro Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 83 Registrado: 12-August 14 Miembro Nº: 131.373 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	X' es "el conjunto de puntos de acumulación de X".

nacharon Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 8 2015, 03:25 PM Publicado: #4
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 321 Registrado: 25-February 13 Miembro Nº: 115.593 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	CITA(nhnsn @ Jul 8 2015, 02:07 PM) X' es "el conjunto de puntos de acumulación de X". aa dale me da la sensación de que está bien lo que hiciste, aunque no tenía idea de que una función puede ser de Cauchy de un modo similar a las sucesiones, pero parece super razonable Yo haría un poco distinta la parte del final: $TEX: <br />... Tomemos entonces $\delta=\min(\delta_1,\delta_2)$. Dado cualquier $x\in X$ que cumpla $0<\|x-a\|<\delta$, necesariamente se tiene que $\|f(x)-L\|<\varepsilon$ porque $x\in Y$ o bien $x\in Z$, y en ambos casos se tiene esta \'ultima desigualdad.<br />$ Se me ocurre una solución alternativa usando la equivalencia con sucesiones: $TEX: Sea $(x_n)$ una sucesi\'on de puntos en $X$ que converge a $a$ (existe por lo que dices acerca de $X'$). Sean $(y_n)$ y $(z_n)$ las subsucesiones de puntos en $Y$ y en $Z$ respectivamente. Por hip\'otesis $f(y_n)\to L$ y $f(z_n)\to L$, luego hay alg\'un $N$ tal que si $n>N$ entonces $\|f(y_n)-L\|<\varepsilon$ y $\|f(z_n)-L\|<\varepsilon$. Esto muestra que para todo $n$ mayor que alg\'un $M$ se verifica $\|f(x_n)-L\|<\varepsilon$ (hacerlo como ejercicio xd), con lo que $f(x_n)\to L$, sin importar la sucesi\'on $(x_n)$ elegida.<br /><br /><br />$ EDIT: no se como ocultar mi solución :c Saludos! Mensaje modificado por nacharon el Jul 8 2015, 03:27 PM

Niklaash Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 9 2015, 12:11 AM Publicado: #5
Doctor en Matemáticas Grupo: Colaborador Silver Mensajes: 193 Registrado: 17-August 12 Desde: Loncuma :3 Miembro Nº: 110.077 Nacionalidad: Sexo:	No creo que sea necesario ver los 3 casos que ahi mencionas, puesto que y,z estan en X y cumplen con el criterio d Cauchy, luego existe lim f(x), cuando x->a QUOTE(nacharon @ Jul 8 2015, 11:25 AM) aa dale me da la sensación de que está bien lo que hiciste, aunque no tenía idea de que una función puede ser de Cauchy de un modo similar a las sucesiones, pero parece super razonable Yo haría un poco distinta la parte del final: $TEX: <br />... Tomemos entonces $\delta=\min(\delta_1,\delta_2)$. Dado cualquier $x\in X$ que cumpla $0<\|x-a\|<\delta$, necesariamente se tiene que $\|f(x)-L\|<\varepsilon$ porque $x\in Y$ o bien $x\in Z$, y en ambos casos se tiene esta \'ultima desigualdad.<br />$ Se me ocurre una solución alternativa usando la equivalencia con sucesiones: $TEX: Sea $(x_n)$ una sucesi\'on de puntos en $X$ que converge a $a$ (existe por lo que dices acerca de $X'$). Sean $(y_n)$ y $(z_n)$ las subsucesiones de puntos en $Y$ y en $Z$ respectivamente. Por hip\'otesis $f(y_n)\to L$ y $f(z_n)\to L$, luego hay alg\'un $N$ tal que si $n>N$ entonces $\|f(y_n)-L\|<\varepsilon$ y $\|f(z_n)-L\|<\varepsilon$. Esto muestra que para todo $n$ mayor que alg\'un $M$ se verifica $\|f(x_n)-L\|<\varepsilon$ (hacerlo como ejercicio xd), con lo que $f(x_n)\to L$, sin importar la sucesi\'on $(x_n)$ elegida.<br />$ EDIT: no se como ocultar mi solución :c Saludos! Creo que te refieres al spoiler :c, tomas todo tu mensaje y a la izquierda de donde se escribe, te sale "Insert: SPOILER" y le mandai el OK :$ Saludos!

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