Funciones Exponenciales Complejas ¿Son LI?

Funciones Exponenciales Complejas ¿Son LI?, f1 = 1; f2 = exp(ix); f3 = exp(-ix)

Braulio85 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 7 2015, 05:36 PM Publicado: #1
Principiante Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 5 Registrado: 11-May 15 Miembro Nº: 137.646 Nacionalidad: Sexo:	Estimados, les traigo un ejercicio que me viene acomplejando ya varios días y no precisamente por que involucre números complejos. Se trata de averiguar si el siguiente grupo de funciones son Linealmente Independientes: $TEX: <br /><br /> $$ f_1(x) = 1 $$<br /> $$ f_2(x) = e^{ix} $$<br /> $$ f_2(x) = e^{-ix} $$<br /><br />$ Como recordarán, se debe demostrar que esta combinación lineal solo sea posible si todas la "r" son cero: $TEX: <br />$$ r_1 f_1 + r_2 f_2 + r_3 f_3 = 0 $$<br />$$ \Rightarrow r_1 = r_2 = r_3 = 0 $$<br />$ Usando a Euler he podido llegar a esto: $TEX: <br />$$ r_1 f_1 + r_2 f_2 + r_3 f_3 = 0 $$<br />$$ r_1 + (r_2+r_3) \cos x + i (r_2-r_3) \sin x $$ <br />$ De lo cual únicamente puedo inferir que $TEX: $ r_2 = r_3 $$ . Me parece que esto no prueba la dependencia o independencia lineal. ¿Alguien puede echarme una mano? Mensaje modificado por Braulio85 el Jul 7 2015, 05:55 PM

Lichiel Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 7 2015, 06:18 PM Publicado: #2
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 736 Registrado: 3-December 12 Miembro Nº: 113.971 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	a mi se me ocurrió así $TEX: $$r_1+r_2e^{ix}+r_3e^{-ix}=0 (1)$$$ $TEX: $$r_1e^{ix}+r_2e^{2ix}+r_3=0$$$ Tomando parte imaginaria deberiamos llegar a: $TEX: $$r_1+r_2e^{ix}=0 (2)$$$ reemplazando en (1) se puede deducir que $TEX: $r_3=0$$ Ahora toma la parte imaginaria de (2) y con eso es suficiente. -------------------- $TEX: \begin{center} $ \aleph_0$ $<$ $\|?\|$ $< \aleph_1 $ \end{center}$ $TEX: Teorema: Si 2 personas tienen el mismo RUT entonces son la misma o existe un delito o el registro civil cometió un error, Denuncie.$ Quiero plata

Braulio85 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 7 2015, 07:43 PM Publicado: #3
Principiante Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 5 Registrado: 11-May 15 Miembro Nº: 137.646 Nacionalidad: Sexo:	Estimado Lichiel, muchas gracias por tu respuesta. Tengo una pregunta: ¿Cómo es que pasas de: $TEX: $r_1e^{ix}+r_2e^{2ix}+r_3=0$$ a: $TEX: $r_1+r_2e^{ix}=0 $$ ? No entendí eso de tomar la parte imaginaria. Desde ya gracias por tu respuesta Mensaje modificado por Braulio85 el Jul 7 2015, 07:43 PM

Lichiel Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 7 2015, 07:55 PM Publicado: #4
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 736 Registrado: 3-December 12 Miembro Nº: 113.971 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	Explico al tomas la parte imaginaria $TEX: $r_1e^{ix}+r_2e^{2ix}$=0$ Divide por $TEX: $ e^{ix} $$ EDTI: Osea lo que hago es separa los terminos que son complejos de los que son reales $TEX: $$r_1e^{ix}+r_2e^{2ix}+r_3=0$$$ por ejemplo si 2ix+24=0 ( si x es real) la parte imaginaria es 2ix la parte real es 24 ahora la parte imaginaria de 0 es 0 entonces 2ix=0 Mensaje modificado por Lichiel el Jul 7 2015, 08:05 PM -------------------- $TEX: \begin{center} $ \aleph_0$ $<$ $\|?\|$ $< \aleph_1 $ \end{center}$ $TEX: Teorema: Si 2 personas tienen el mismo RUT entonces son la misma o existe un delito o el registro civil cometió un error, Denuncie.$ Quiero plata

pprimo Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 7 2015, 11:28 PM Publicado: #5
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 817 Registrado: 21-February 14 Miembro Nº: 127.064	considerando que x solo toma valores reales $TEX: $$0=r_{1}+r_{2}e^{ix}+r_{3}e^{-ix}=r_{1}+r_{2}\left( \cos x+i\sin x \right)+r_{3}\left( \cos -x+i\sin -x \right)$$$ $TEX: $$=r_{1}+\left( r_{2}+r_{3} \right)\cos x+i\left( r_{2}-r_{3} \right)\sin x$$$ comparando partes reales e imaginarias, ahora ve si tiene solucion el sistema y listo $TEX: $$r_{1}+\left( r_{2}+r_{3} \right)\cos x=0\wedge \left( r_{2}-r_{3} \right)\sin x=0$$$

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