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examen lineal licenciatura

nacharon Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 1 2015, 09:42 PM Publicado: #1
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 321 Registrado: 25-February 13 Miembro Nº: 115.593 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	el examen estaba bkn pero encuentro que nos dieron muy poco tiempo... $TEX: <br /><br />\begin{enumerate}<br />\item Sean $K$ un cuerpo, $E$ un $K$ espacio vectorial, $F$ y $G$ dos subespacios vectoriales de $E$. Mostrar la equivalencia entre las siguientes afirmaciones:<br />\begin{enumerate}<br />\item $F\cup G$ es un subespacio vectorial de $E$.<br />\item $F\cup G=F+G$.<br />\item $F\subset G$ o bien $G\subset F$.<br />\end{enumerate}<br /><br />\item Sea $\mathbb R_2[X]$ el $\mathbb R$-espacio vectorial de los polinomios a coeficientes reales y de grado menor o igual a $2$.<br />\begin{enumerate}<br />\item Mostrar que la familia $(1,X+1,X^2/2+1)$ es una base de $\mathbb R_2[X]$.<br />\item Determinar su base dual.<br />\end{enumerate}<br /><br />\item Determinar una forma de Jordan de la matriz<br />$$\begin{bmatrix}3&2&-1\\ -1&0&1\\ -1&-2&3 \end{bmatrix}.$$<br /><br />\item Sea $n\in\mathbb N$. Consideremos el espacio euclidiano $\mathbb R^n$ con su producto punto usual, denotado $<\cdot,\cdot>$. Sea $A\in\mathcal{M}_n(\mathbb R)$. Se define la aplicaci\'on $\varphi_A$ por<br />$$\begin{array}{rcl}<br />\varphi_A:\mathbb R^n\times\mathbb R^n &\to&\mathbb R\\<br />(X,Y) &\mapsto &<X,AY><br />\end{array} $$<br />Mostrar que $\varphi_A$ es un producto punto si y solo si $A$ es sim\'etrica y todos sus valores propios son estrictamente positivos.<br /><br /><br />\item Sea $E$ un espacio euclidiano, y denotemos por $\\|\cdot\\|$ la norma derivada del producto punto sobre $E$. Sea $f\in\mathcal L_\mathbb R(E)$ tal que para todo $x\in E$, $\\|f(x)\\|\le\\|x\\|$. Mostrar que:<br />\begin{enumerate}<br />\item para todo $x\in E$, $\\|f^(x)\\|\le\\|x\\|$.<br />\item $f(x)=x$ para alg\'un $x\in E$ si y solo si $f^(x)=x$.<br />\item $E=\text{Ker }(f-\text{id}_E)\oplus\text{Ran }(f-\text{id}_E)$.<br />\end{enumerate}<br />\end{enumerate}<br /><br /><br />Nota: $f^$ denota el endomorfismo adjunto a $f$.<br />$ Mensaje modificado por nacharon* el Jul 1 2015, 09:43 PM

nacharon Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 1 2015, 10:55 PM Publicado: #2
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 321 Registrado: 25-February 13 Miembro Nº: 115.593 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	me tiro con parte de la 4, que es la que más me gustó :B (espero no haberme chanchunfleado xd) $TEX: <br />Sea $(e_i)_{i=1}^n$ la base can\'onica de $\mathbb R^n$. La matriz de Gram asociada al producto punto usual es la identidad, por lo tanto $\varphi_A(X,X)=<X,AX>=X^t(AX)$.<br />\begin{enumerate}<br />\item Si $A$ cumple las condiciones dadas, entonces es diagonalizable en una base ortonormal, ie $A=P^tDP$. Adem\'as los valores en $D$ (que es diagonal) son todos estrictamente positivos, asi que tiene sentido escribir algo del estilo $\sqrt{D}=(\sqrt{d_{ij}})$. Con esto<br />$$\varphi_A(X,X)=X^tP^t\sqrt{D}^t\sqrt{D}PX=\\|\sqrt{D}PX\\|^2\ge 0,$$<br />lo que muestra que $\varphi_A$ es positiva. Adem\'as, si $X\not=0$ entonces $\sqrt{D}PX\not=0$ porque $P$ es invertible y $D$ tiene solo elementos positivos en su diagonal: $\varphi_A$ es definida.\\<br />\\<br />Veamos ahora la simetr\'ia:<br />$$\varphi_A(X,Y)=<X,AY>=X^t(AY)=X^tA^tY=(AX)^tY=<AX,Y>=\varphi_A(Y,X).$$<br /><br />\item Asumamos que $\varphi_A$ es sim\'etrica definida positiva. Se tiene que $\forall X,Y$, $\varphi_A(X,Y)=\varphi_A(Y,X)$, ie<br />$$<X,AY>=<AX,Y>\Leftrightarrow X^tAY=X^tA^tY.$$<br />Se sigue que $A^t=A$ por un lema x visto en clases. Esto garantiza que $A$ es diagonalizable en una base ortonormal, osea que $A=P^tDP$; sean $\alpha_1,\ldots,\alpha_q$ los elementos distintos de $D$. Si alguno de ellos fuese cero, entonces existir\'ia un vector del tipo $Y=(0,\ldots,1,0,\ldots ,0)^t$ tal que $Y^tDY=0$ (el $1$ va en la misma posici\'on que el valor propio nulo), pero como $P$ es biyectiva, esto dir\'ia que hay alg\'un $X\not=0$ tal que $Y=PX$, luego<br />$$0=Y^tDY=X^tP^tDPX=\varphi_A(X,X),$$<br />lo cual no es posible porque $\varphi_A$ es definida. El hecho de que todos los $\alpha_i$ son positivos sigue de que $\varphi_A$ es positiva. Si alg\'un $\alpha_j$ fuese negativo, entonces la elecci\'on de un vector $Y$ como arriba llevar\'ia a tener $Y^tDY<0$. Nuevamente la biyectividad de $P$ dice que hay un $X$ tal que $PX=Y$, y por lo tanto $\varphi_A(X,X)<0$, lo que contradice el hecho de que $\varphi_A$ es positiva.<br /><br />\end{enumerate}<br /><br />$

felipemed Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 2 2015, 10:10 PM Publicado: #3
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 529 Registrado: 28-May 12 Desde: Chile Miembro Nº: 106.591 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	Esto es primer año? Porque el nivel de dificultad comparado con el de ingeniería es muucho mayor. -------------------- “Everybody is a genius. But if you judge a fish by its ability to climb a tree, it will live its whole life believing that it is stupid.” ― Albert Einstein

nacharon Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 2 2015, 10:28 PM Publicado: #4
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 321 Registrado: 25-February 13 Miembro Nº: 115.593 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	CITA(felipemed @ Jul 2 2015, 10:10 PM) Esto es primer año? Porque el nivel de dificultad comparado con el de ingeniería es muucho mayor. Es de segundo año, antes d este ramo hay un "introducción al álgebra lineal" que es más o menos parecido al de ingeniería

andres2113 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 3 2015, 11:01 AM Publicado: #5
Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 62 Registrado: 9-October 10 Desde: santiago Miembro Nº: 78.420 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(nacharon @ Jul 2 2015, 10:28 PM) Es de segundo año, antes d este ramo hay un "introducción al álgebra lineal" que es más o menos parecido al de ingeniería licenciatura en mate, física? Mensaje modificado por andres2113 el Jul 3 2015, 11:03 AM

CnstMot Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 3 2015, 11:53 AM Publicado: #6
Doctor en Matemáticas Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 182 Registrado: 18-February 13 Desde: Santiago Miembro Nº: 115.462 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	CITA(andres2113 @ Jul 3 2015, 11:01 AM) licenciatura en mate, física? Mate -------------------- Standing above the crowd, He had a voice that was strong and loud and I Swallowed his facade cuz I'm so Eager to identify with Someone above the ground, Someone who seemed to feel the same, Someone prepared to lead the way, and Someone who would die for me. Will you? Will you now? Would you die for me?

Lichiel Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 3 2015, 01:49 PM Publicado: #7
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 736 Registrado: 3-December 12 Miembro Nº: 113.971 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	$TEX: \noindent 1. Probaremos primero que $(a) \Rightarrow (b) $. Es trivial que $F \cup G \subset F+G$ Ahora sea $x=f+g$ con $f \in F$ y $g \in G$ entonces $f,g \in F \cup G$ como la unión es un s.e.v $f+g=x \in F \cup G $ por lo tanto $ F \cup G= F+G$$ $TEX: \noindent $ (b) \Rightarrow © $ supongamos que $ F \nsubseteq G $ entonces existe $x \in F \slash G$ ahora sea $ y \in G $ entonces $y+x \in F\cup G$. Si $x+y \in G $ entonces $x+y-y=x \in G $, lo cual es una contradicción. Si $x+y \in F $ entonces $x+y-x=y \in F$ por lo tanto $ F \subset G$. Para $ G \nsubseteq F $ es análogo.$ $TEX: \noindent $© \Rightarrow (a) $ si $F \subset G $ entonces $ F \cup G = G $ por lo tanto es espacio vectorial. El otro caso es análogo.$ -------------------- $TEX: \begin{center} $ \aleph_0$ $<$ $\|?\|$ $< \aleph_1 $ \end{center}$ $TEX: Teorema: Si 2 personas tienen el mismo RUT entonces son la misma o existe un delito o el registro civil cometió un error, Denuncie.$ Quiero plata

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