 examen mat1126 |
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 Jul 1 2015, 09:22 PM
Publicado:
#1
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 Dios Matemático  Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 321 Registrado: 25-February 13 Miembro Nº: 115.593 Nacionalidad:  Universidad:  Sexo:   |
Aquí va el examen...
![TEX: <br />\begin{enumerate}<br /><br />\item a) Sean $f,g:\mathbb R\to\mathbb R$ funciones diferenciables tales que $f'=2g$ y $g'=-2f$. Demuestre que $f(x)^2+g(x)^2$ es constante.\\<br />\\<br />b) Pruebe que existe una sola funci\'on $f:(0,\infty)\to\mathbb R$ diferenciable tal que<br />$$f(x)=1+\frac{1}{x}\int_1^xf(t)dt. $$<br /><br />\item a) Calcule $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{1}{\sqrt{n}}\left(1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{n}}\right)$.\\<br />\\<br />b) Sea $f:[0,1]\to\mathbb R$ una funci\'on mon\'otona. Demuestre que <br />$$\left|\int_0^1f(x)dx-\frac{1}{n}\sum_{k=1}^nf\left(\frac{k}{n}\right) \right|\le\frac{|f(1)-f(0)|}{n}.$$<br /><br />\item Calcule $\displaystyle \int\frac{8x^3+7}{(x+1)(2x+1)^3}dx.$<br /><br />\item a) Demuestre que $f_n(x)=nx(1-x)^n$ converge puntualmente a la funci\'on identicamente nula en $[0,1]$ pero que la convergencia no es uniforme.\\<br />\\<br />b) Calcule el conjunto de todos los $x\in\mathbb R$ para los que la serie de potencias converge:<br />$$f(x)=\sum_{n=1}^\infty\frac{5^{n+1}x^n}{n+9}.$$<br /><br />\end{enumerate}<br />](/tex-image/ec2d5bc3dea8eb6d79eccdacda50fa5b.png)
Mensaje modificado por nacharon el Jul 1 2015, 09:23 PM |
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Jul 1 2015, 10:07 PM
Publicado:
#2
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 Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 736 Registrado: 3-December 12 Miembro Nº: 113.971 Nacionalidad: Universidad:  Sexo: |
Mensaje modificado por Lichiel el Jul 1 2015, 10:08 PM --------------------    Quiero plata |
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