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APMO 2003, Ssp: 3,5

Luffy Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 20 2007, 08:12 PM Publicado: #1
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 556 Registrado: 16-August 06 Desde: Rio de Janeiro Miembro Nº: 1.950 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: \noindent \underline{$Problema\ 1$} Sean $a,b,c,d,e,f$ n\'umeros reales tales que el polinomio:\\<br />\begin{center}<br />$p(x)=x^8-4x^7+7x^6+ax^5+bx^4+cx^3+dx^2+ex+f$<br />\end{center}<br />se puede factorizar en ocho factores $x-x_i$, con $x_i>0$ para $i= 1, 2,...,8$. Determine todos los posibles valores de $f$$ Solucion: $TEX: \noindent Como $\displaystyle\sum_{i=1}^8x_i=4$ y $\displaystyle\sum_{i<j}^8x_ix_j=7$ se tiene que:\\<br />\\<br />$\dfrac{\displaystyle\sum_{i=1}^8x_i}{{8 \choose 1}}=\sqrt{\dfrac{\displaystyle\sum_{i<j}^8x_ix_j}{{8 \choose 2}}}$\\<br />\\<br />Y por las desigualdades de MacLaurin se sigue que todas las soluciones son iguales. Entonces $f=2^{-8}$.$ $TEX: \boxed{Resuelto\ por\ Pasten}$ $TEX: \noindent \underline{$Problema\ 2$} Suponga que $ABCD$ es una pieza cuadrada de cartulina de lado $a$. En un plano, hay dos lines paralelas $\ell_1$ y $\ell_2$ que tambien estan separadas por $a$ unidades. El cuadrado $ABCD$ es ubicado en el plano de tal manera que $AB$ y $AD$ intersectan a $\ell_1$ en $E$ y $F$ respectivamente. Tambi\'en, los lados $CB$ y $CD$ intersectan a $\ell_2$ en $G$ y $H$ respectivamente. Sean los per\'imetros de $\triangle AEF$ y $\triangle CGH$, $m_1$ y $m_2$ respectivamente. Pruebe que sin importar como se ubique el cuadrado $m_1+m_2$ permanece constante.$ Solucion: Sea p=\|AF\|, q=\|CH\| y $TEX: $\beta=\angle AFE=\angle HGC$$ . Resolviendo los triángulos AEF y CGH obtenemos $TEX: $m_1=p(1+tan\beta+sec\beta)$$ y $TEX: $m_2=q(1+cot\beta+csc\beta)$$ . Por D trazamos una perpendicular a $TEX: $l_1$$ que corta a $TEX: $l_1$$ en M y a $TEX: $l_2$$ en N. Entonces en el triángulo FMD tenemos $TEX: $ MD=(a-p)sen\beta$$ y en el triángulo HND tenemos $TEX: $ND=(a-q)cos\beta$$ . Entonces $TEX: $a=(a-p)sen\beta+(a-q)cos\beta$$ , es decir $TEX: $\frac{p}{cos\beta}+\frac{q}{sen\beta}=a\frac{sen\beta+cos\beta-1}{sen\beta cos\beta}$$ . Nos piden $TEX: $$m_1+m_2=(\frac{p}{cos\beta}+\frac{q}{sen\beta})(sen\beta+cos\beta+1)=a\frac{sen\beta+cos\beta-1}{sen\beta cos\beta}(sen\beta+cos\beta+1)=2a$$$ .Es decir $TEX: $m_1+m_2$$ sólo depende de $TEX: $a$.$ $TEX: $\boxed{Resuelto\ por\ Claudio\ Espinoza}$$ $TEX: \noindent \underline{$Problema\ 3$} Sea $k\ge 14$ un entero, y sea $p_k$ es mayor n\'umero primo que es estrictamente menor que $k$. Tu puedes asumir que $p_k\ge \frac{3k}{4}$. Sea $n$ un entero compuesto. Pruebe:\\<br />(a) Si $n=2p_k$, entonces $n$ no divide a $(n-k)!$;\\<br />(b) Si $n>2p_k$, entonces $n$ divide a $(n-k)!$.$ Solucion: (Pendiente) $TEX: \noindent \underline{$Problema\ 4$} Sean $a,b,c$ los lados de un tri\'angulo, con $a+b+c=1$, y sea $n\ge 2$ un entero. Demuestre que:\\<br />\begin{center}<br />$\sqrt[n]{a^n+b^n}+\sqrt[n]{b^n+c^n}+\sqrt[n]{c^n+a^n}<1+\dfrac{\sqrt[n]{2}}{2}$<br />\end{center}$ Solucion: $TEX: Primero determinamos las variables en funci\'on de $a,b,c$:$ $TEX: $x=\dfrac{-a+b+c}{2}$ ; $y=\dfrac{a-b+c}{2}$ ; $z=\dfrac{a+b-c}{2}$$ $TEX: Como $a,b,c$ son lados de un tri\'angulo, entonces $x,y,z>0$ y adem\'as $x+y+z=\dfrac{a+b+c}{2}=\dfrac{1}{2}$.$ $TEX: Ahora, aplicando la {\bf Desigualdad de Minkowsky}:$ $TEX: $\sqrt[n]{(y+z)^n+(x+z)^n}+\sqrt[n]{(z+x)^n+(y+x)^n}+\sqrt[n]{(x+y)^n+(z+y)^n}\le (\sqrt[n]{y^n+x^n}+\sqrt[n]{z^n+z^n})+(\sqrt[n]{z^n+y^n}+\sqrt[n]{x^n+x^n})+(\sqrt[n]{x^n+z^n}+\sqrt[n]{y^n+y^n})$$ $TEX: $\sqrt[n]{a^n+b^n}+\sqrt[n]{b^n+c^n}+\sqrt[n]{c^n+a^n}\le \sqrt[n]{x^n+y^n}+\sqrt[n]{y^n+z^n}+\sqrt[n]{z^n+x^n}+\sqrt[n]{2}(x+y+z)$$ $TEX: $\sqrt[n]{a^n+b^n}+\sqrt[n]{b^n+c^n}+\sqrt[n]{c^n+a^n}\le \sqrt[n]{x^n+y^n}+\sqrt[n]{y^n+z^n}+\sqrt[n]{z^n+x^n}+\dfrac{\sqrt[n]{2}}{2}$$ $TEX: Pero adem\'as:$ $TEX: $x^n+y^n<(x+y)^n$ $\Rightarrow$ $\sqrt[n]{x^n+y^n}<x+y$$ $TEX: $y^n+z^n<(y+z)^n$ $\Rightarrow$ $\sqrt[n]{y^n+z^n}<y+z$$ $TEX: $z^n+x^n<(z+x)^n$ $\Rightarrow$ $\sqrt[n]{z^n+x^n}<z+x$$ $TEX: Por lo tanto:$ $TEX: $\sqrt[n]{a^n+b^n}+\sqrt[n]{b^n+c^n}+\sqrt[n]{c^n+a^n}<(x+y)+(y+z)+(z+x)+\dfrac{\sqrt[n]{2}}{2}$$ $TEX: $\sqrt[n]{a^n+b^n}+\sqrt[n]{b^n+c^n}+\sqrt[n]{c^n+a^n}<2(x+y+z)+\dfrac{\sqrt[n]{2}}{2}$$ $TEX: $\boxed{\sqrt[n]{a^n+b^n}+\sqrt[n]{b^n+c^n}+\sqrt[n]{c^n+a^n}<1+\dfrac{\sqrt[n]{2}}{2}}$$ $TEX: \boxed{Resuelto\ por\ Luffy}$ $TEX: \noindent \underline{$Problema\ 5$} Dados dos enteros positivos $m$ y $n$, encuentre el menor entero positivo $k$ tal que, entre cualesquiera $k$ personas, hay $2m$ de ellas que forman $m$ pares de personas que se conocen, o hay $2n$ de ellas que forman $n$ pares de personas que se conocen.$ Solucion: (Pendiente)

Claudio Espinoza Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 15 2008, 03:38 PM Publicado: #2
Principiante Matemático Destacado Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 21 Registrado: 22-October 06 Desde: SJL - Lima Miembro Nº: 2.613 Nacionalidad: Sexo:	CITA(Luffy @ May 20 2007, 09:12 PM) $TEX: \noindent \underline{$Problema\ 2$} Suponga que $ABCD$ es una pieza cuadrada de cartulina de lado $a$. En un plano, hay dos lines paralelas $\ell_1$ y $\ell_2$ que tambien estan separadas por $a$ unidades. El cuadrado $ABCD$ es ubicado en el plano de tal manera que $AB$ y $AD$ intersectan a $\ell_1$ en $E$ y $F$ respectivamente. Tambi\'en, los lados $CB$ y $CD$ intersectan a $\ell_2$ en $G$ y $H$ respectivamente. Sean los per\'imetros de $\triangle AEF$ y $\triangle CGH$, $m_1$ y $m_2$ respectivamente. Pruebe que sin importar como se ubique el cuadrado $m_1+m_2$ permanece constante.$ Sea p=\|AF\|, q=\|CH\| y $TEX: $\beta=\angle AFE=\angle HGC$$ . Resolviendo los triángulos AEF y CGH obtenemos $TEX: $m_1=p(1+tan\beta+sec\beta)$$ y $TEX: $m_2=q(1+cot\beta+csc\beta)$$ . Por D trazamos una perpendicular a $TEX: $l_1$$ que corta a $TEX: $l_1$$ en M y a $TEX: $l_2$$ en N. Entonces en el triángulo FMD tenemos $TEX: $ MD=(a-p)sen\beta$$ y en el triángulo HND tenemos $TEX: $ND=(a-q)cos\beta$$ . Entonces $TEX: $a=(a-p)sen\beta+(a-q)cos\beta$$ , es decir $TEX: $\frac{p}{cos\beta}+\frac{q}{sen\beta}=a\frac{sen\beta+cos\beta-1}{sen\beta cos\beta}$$ . Nos piden $TEX: $$m_1+m_2=(\frac{p}{cos\beta}+\frac{q}{sen\beta})(sen\beta+cos\beta+1)=a\frac{sen\beta+cos\beta-1}{sen\beta cos\beta}(sen\beta+cos\beta+1)=2a$$$ .Es decir $TEX: $m_1+m_2$$ sólo depende de $TEX: $a$.$

~Fatal_Collapse~ Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Dec 8 2009, 04:30 PM Publicado: #3
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.564 Registrado: 12-November 07 Desde: La Union, XIV Region de los Rios Miembro Nº: 12.607 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Problema 3: $TEX: a)Veamos que $k>p_k$ por definicion. Luego $n-k=2p_k-k<2p_k-p_k=p_k$. Por otro lado, es sabido que $(n-k)!$ posee en su factorizacion canonica unicamente a todos los primos menores o iguales a $n-k$, pero como $p_k>n-k$, se sigue que $(n-k)!$ no contiene ningun factor $p_k$, o sea $p_k$ no divide a $(n-k)!$, y por ende tampoco $n=2p_k$ lo divide.$ -------------------- Ricardo Vargas Obando Ex-alumno Deutsche Schule La Unión (Generación 2010, de los 150 años). Novato de Licenciatura en Matemática/Estadística, en la Pontificia Universidad Católica de Chile. Grupo de facebook de Novatos Matemática y Estadística PUC 2011 Currículum Olímpico: Medalla de Plata, XIX Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Menor (2007) Medalla de Oro, XXI Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2009) Medalla de Bronce, XXV Olimpiada Iberoamericana de Matemática (2010) Medalla de Oro, XXII Olimpiada Nacional de Matemática Nivel Mayor (2010) "What we learned as children, that one plus one equals two, we know to be false. One plus one equals one. We even have a word when you plus another, equals one. That word is love." "Todos piensan en cambiar el mundo, pero nadie piensa en cambiarse a sí mismo."

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