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Desigualdad geométrica, a dibujar!

Luffy Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 25 2015, 06:53 PM Publicado: #1
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 556 Registrado: 16-August 06 Desde: Rio de Janeiro Miembro Nº: 1.950 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Sean $TEX: $ a,b > 0$$ . Pruebe que: $TEX: $ \sqrt {a + b}(3a + b + 2\sqrt {3ab})\ge a(\sqrt {3a} + 7\sqrt {b}) + b(\sqrt {3a} - \sqrt {b})$$ y determine cuando ocurre la igualdad. Saludos!

pprimo Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Sep 25 2015, 05:06 PM Publicado: #2
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 817 Registrado: 21-February 14 Miembro Nº: 127.064	Hola luffy pase mucho tiempo pegado frente al cuaderno intentando ver algo en esto, se que no es lo que esperas pero como nadie se motivo, dejare mi prueba que es solo algebraica Debemos probar que $TEX: $$\sqrt{a+b}\left( 3a+b+2\sqrt{3ab} \right)\ge a\left( \sqrt{3a}+7\sqrt{b} \right)+b\left( \sqrt{3a}-\sqrt{b} \right)$$$ Manipulando algebraicamente y sumando un cerito $TEX: $$\sqrt{a+b}\left( \sqrt{3a}+\sqrt{b} \right)^{2}\ge \left( a+b \right)\left( \sqrt{3a}+\sqrt{b} \right)-\left( a+b \right)\sqrt{b}+7a\sqrt{b}-b\sqrt{b}$$$ Factorizando $TEX: $$\sqrt{a+b}\left( \sqrt{3a}+\sqrt{b} \right)^{2}\ge \left( a+b \right)\left( \sqrt{3a}+\sqrt{b} \right)+2\left( 3a-b \right)\sqrt{b}$$$ Nuevamente factorizando $TEX: $$\sqrt{a+b}\left( \sqrt{3a}+\sqrt{b} \right)^{2}\ge \left( a+b \right)\left( \sqrt{3a}+\sqrt{b} \right)+2\left( \sqrt{3a}+\sqrt{b} \right)\left( \sqrt{3a}-\sqrt{b} \right)\sqrt{b}$$$ y simplificando (la expresion es positiva) $TEX: $$\sqrt{a+b}\left( \sqrt{3a}+\sqrt{b} \right)\ge a+b+2\left( \sqrt{3a}-\sqrt{b} \right)\sqrt{b}$$$ $TEX: $$\sqrt{a+b}\left( \sqrt{3a}+\sqrt{b} \right)\ge a+2\sqrt{3ab}-b$$$ $TEX: $$\sqrt{a+b}\left( \sqrt{3a}+\sqrt{b} \right)\ge 3a+2\sqrt{3ab}+b-2a-2b$$$ $TEX: $$\sqrt{a+b}\left( \sqrt{3a}+\sqrt{b} \right)\ge \left( \sqrt{3a}+\sqrt{b} \right)^{2}-2\left( a+b \right)$$$ $TEX: $$2\left( \sqrt{a+b} \right)^{2}+\sqrt{a+b}\left( \sqrt{3a}+\sqrt{b} \right)-\left( \sqrt{3a}+\sqrt{b} \right)^{2}\ge 0$$$ $TEX: $$\left( 2\sqrt{a+b}-\left( \sqrt{3a}+\sqrt{b} \right) \right)\left( \sqrt{a+b}+\sqrt{3a}+\sqrt{b} \right)\ge 0$$$ Esto ultimo es cierto puesto que $TEX: $$\left( \sqrt{a}-\sqrt{3b} \right)^{2}>0$$$ sumando un cero $TEX: $$4a+4b>3a+b+2\sqrt{3ab}$$$ factorizando y extraer raiz cuadrada se obtiene que $TEX: $$2\sqrt{a+b}>\left( \sqrt{3a}+\sqrt{b} \right)$$$ la prueba esta terminada, ahora lea todo esto de atras para delante ji ji PD1 de donde lo sacaste ¿? me gustaria ver la solucion elegante esa dibujando u.u cualquier cosa me avisas PD2 me puse feliz cuando me di cuenta que todo era factorizable jajaaj Mensaje modificado por pprimo el Sep 25 2015, 05:07 PM

pprimo Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Mar 2 2016, 01:57 PM Publicado: #3
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 817 Registrado: 21-February 14 Miembro Nº: 127.064	que paso con esto lufy ? :c podrias darme un hint para encontrar una solucion decente D:

pprimo Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Apr 2 2017, 01:24 PM Publicado: #4
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 817 Registrado: 21-February 14 Miembro Nº: 127.064	la igualdad ocurre para $TEX: $$a=3b$$$ puesto que mediante la factorizacion $TEX: $$\sqrt{a+b}\left( \sqrt{3a}+\sqrt{b} \right)^{2}=\left( a+b \right)\left( \sqrt{3a}+\sqrt{b} \right)+2\left( \sqrt{3a}+\sqrt{b} \right)\left( \sqrt{3a}-\sqrt{b} \right)\sqrt{b}$$$ $TEX: $$\left( \sqrt{3a}+\sqrt{b} \right)\left( a-b+2\sqrt{3ab}-\sqrt{a+b}\left( \sqrt{3a}+\sqrt{b} \right) \right)=0$$$ $TEX: $$\left( \sqrt{3a}+\sqrt{b} \right)\left( \left( \sqrt{3a}+\sqrt{b} \right)^{2}-\sqrt{a+b}\left( \sqrt{3a}+\sqrt{b} \right)-2\left( \sqrt{a+b} \right)^{2} \right)=0$$$ $TEX: $$\left( \underbrace{\sqrt{3a}+\sqrt{b}}_{>0} \right)\left( \sqrt{3a}+\sqrt{b}-2\sqrt{a+b} \right)\left( \underbrace{\sqrt{3a}+\sqrt{b}+\sqrt{a+b}}_{>0} \right)=0$$$ se deduce que para que exista igualdad debe cumplirse necesariamente $TEX: $$\sqrt{3a}+\sqrt{b}=2\sqrt{a+b}$$$ de lo cual se desprende $TEX: $$0=a-2\sqrt{3ab}+3b=\left( \sqrt{a}-\sqrt{3b} \right)^{2}$$$ de donde se obtiene $TEX: $$a=3b$$$

Luffy Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Nov 3 2020, 02:07 PM Publicado: #5
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 556 Registrado: 16-August 06 Desde: Rio de Janeiro Miembro Nº: 1.950 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Ya, después de mil años voy a poner la solución "geométrica" de este problema. Igual es bastante artificial así que espero que no se enojen. Lo primero es considerar un triángulo rectángulo $TEX: $ABC$$ con lados $TEX: $AB=\sqrt{a}$$ , $TEX: $BC=\sqrt{b}$$ y $TEX: $CA=\sqrt{a+b}$$ . Consideramos un punto $TEX: $D$$ en el circuncírculo de $TEX: $ABC$$ (note que este círculo tiene radio $TEX: $R=\frac{\sqrt{a+b}}{2}$$ ) de forma tal que $TEX: $BCD$$ es también rectángulo en $TEX: $D$$ y con $TEX: $CD=\frac{\sqrt{3a}-\sqrt{b}}{2}$$ y $TEX: $DA=\frac{\sqrt{a}+\sqrt{3b}}{2}$$ . Entonces usando que el cuadrilátero $TEX: $ABCD$$ es cíclico, podemos usar el Teorema de Ptolomeo para calcular $TEX: $BD=\frac{\sqrt{3}}{2}\sqrt{a+b}$$ . Con esto podemos calcular el área del triángulo $TEX: $ABD$$ la cual corresponde a $TEX: $\frac{AB\cdot BD\cdot DA}{4R}=\frac{\sqrt{3}}{8}(a+\sqrt{3ab})$$ . Esta misma área se puede calcular en términos del inradio $TEX: $r$$ y del semiperímetro $TEX: $s=\frac{\sqrt{3}}{4}(\sqrt{3a}+\sqrt{b}+\sqrt{a+b})$$ lo que nos da $TEX: $2r=\frac{a+\sqrt{3ab}}{\sqrt{3a}+\sqrt{b}+\sqrt{a+b}}$$ . Finalmente usando la desigualdad de Euler $TEX: $2r\le R$$ llegamos al resultado $TEX: $2a+2\sqrt{3ab}\le \sqrt{a+b}(\sqrt{3a}+\sqrt{b}+\sqrt{a+b})$<br />$ $TEX: $\Rightarrow a-b+2\sqrt{3ab}\le \sqrt{a+b}(\sqrt{3a}+\sqrt{b})$<br />$ $TEX: $\Rightarrow (a-b+2\sqrt{3ab})(\sqrt{3a}+\sqrt{b})\le \sqrt{a+b}(\sqrt{3a}+\sqrt{b})^2$<br />$ $TEX: $\Rightarrow a(\sqrt{3a}+7\sqrt{b})+b(\sqrt{3a}-\sqrt{b})\le \sqrt{a+b}(3a+b+2\sqrt{3ab})$$ La igualdad se tiene cuando $TEX: $2r=R$$ es decir cuando $TEX: $ABD$$ es equilátero, lo que equivale a $TEX: $a=3b$$ . Disculpas a pprimo por el abandono del problema.

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