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La simediana

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cev Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 24 2015, 12:44 PM Publicado: #1
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 1.116 Registrado: 12-March 11 Miembro Nº: 84.732 Nacionalidad: Sexo:	Conjugados isogonales. Sean $TEX: $ABC$$ un triangulo, $TEX: $b$$ la bisectriz del angulo $TEX: $A$$ y $TEX: $M$$ el punto medio de $TEX: $BC$$ . La recta $TEX: $b$$ corta al circuncirculo de $TEX: $ABC$$ en $TEX: $N$$ . Sean los puntos $TEX: $P$$ y $TEX: $Q$$ sobre dicho circuncirculo, decimos que $TEX: $AP$$ y $TEX: $AQ$$ son rectas conjugadas isogonales (o isogonales) si $TEX: $b$$ es la bisectriz de $TEX: $\angle PAQ$$ . Dos sencillas observaciones (faciles de probar): siempre $TEX: $PQ\parallel BC$$ y ademas la mediatriz de $TEX: $BC$$ , es decir $TEX: $MN$$ , es tambien mediatriz de $TEX: $PQ$$ . conjugados.png ( 15.98k ) Número de descargas: 0 La simediana. Supongamos una recta $TEX: $s$$ que pasa por el vertice $TEX: $A$$ y corta al circuncirculo de $TEX: $ABC$$ en $TEX: $X$$ . Luego sean $TEX: $X'$$ el reflejo de $TEX: $X$$ respecto de $TEX: $BC$$ y $TEX: $M'$$ la interseccion de $TEX: $AX'$$ con $TEX: $BC$$ . Si $TEX: $b$$ es la bisectriz de $TEX: $\angle XAM'$$ entonces $TEX: $s$$ es la simediana respecto del $TEX: $\angle A$$ del triangulo $TEX: $ABC$$ . Buscamos demostrar entonces que el segmento $TEX: $AM'$$ es la mediana (transversal de gravedad ahi en Chile) del vertice $TEX: $A$$ . Prolongamos $TEX: $AM'$$ hasta cortar al circuncirculo en $TEX: $Y$$ . Vimos que $TEX: $XY\parallel BC$$ , luego $TEX: $\Delta XYX'$$ es rectangulo, y $TEX: $M'$$ es el punto medio de su hipotenusa pues $TEX: $BC$$ es mediatriz del lado $TEX: $XX'$$ . Una recta paralela a $TEX: $XX'$$ que pase por $TEX: $M'$$ va a ser la mediatriz de $TEX: $XY$$ , entonces tambien sera la mediatriz de $TEX: $BC$$ , asi concluimos que $TEX: $M'=M$$ y que $TEX: $AM'=AM$$ es la mediana buscada. La simediana respecto a un vertice de un triangulo es entonces el reflejo de la mediana en ese vertice respecto de la correspondiente bisectriz. (Si Z es la interseccion de AX con BC ¿sera X'Z una simediana del triangulo BCX'?). simediana.png ( 26.47k ) Número de descargas: 0 -------------------------------------------------------------------------------- Estas cosas salen luego de haber leido un propuesto by Kaissa. Mensaje modificado por cev el May 24 2015, 12:56 PM -------------------- >>>LG