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I2 Álgebra Lineal Lic., MAT1226 - Interrogación 2

Lichiel Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 19 2015, 09:48 PM Publicado: #1
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 736 Registrado: 3-December 12 Miembro Nº: 113.971 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	MAT1226 - Interrogación 2 $TEX: <br />\noindent \textbf{Ejercicio 1}. Denotaremos por $E$ la base del espacio de matrices $ \mathcal{M}_2(\mathbb{R})$ constituida por las matrices siguientes:<br />$$ E_{11}=\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} E_{21}=\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$$<br />$$ E_{12}=\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} E_{22}=\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$$<br />Sea $A \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R})$ y $\varphi_A:\mathcal{M}_2(\mathbb{R}) \to \mathcal{M}_2(\mathbb{R})$ definida por $\varphi_A:\mathcal{M}_2(\mathbb{R}) \to \mathcal{M}_2(\mathbb{R})$ definida por $\varphi_A(X)=AX$ para $X \in \ \mathcal{M}_2(\mathbb{R})$.<br /><br />\noindent 1a. Verificar que $\varphi_A$ es lineal y determinar la matriz representativa de $\varphi_{A}$ y la traza de A.<br /><br />\noindent 1b. Que relación hay entre $rg(\varphi_{A})$ y $rg(A)$ ? entre la traza de $\varphi_{A}$ y la traza de $A$<br /><br />\noindent 1c. Dar una base de $Im \varphi_{A}$ y $ Ker \varphi_{A}$ cuando<br />$$\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$$<br />$ $TEX: \noindent \textbf{Ejercicio 2}. En el $\mathbb{C}$-espacio vectorial $\mathbb{C}^3$ equipado de su base canónica, se considera las formas lineales siguientes: $\varphi_{1}(x,y,z)=x+2y-3z,\varphi_{2}(x,y,z)=5x-3y,\varphi_{3}(x,y,z)=2x-y-z$. <br /><br />\noindent 2a. Verificar que $(\varphi_{1},\varphi_{2},\varphi_{3})$ es una base $(\mathbb{C}^3)^$<br /><br />\noindent 2b. Determinar la base de $\mathbb{C}^3$ de la cual es la base dual.<br /><br />\noindent \textbf{Ejercicio 3}.<br /><br />\noindent 3a. Resolver en $\mathbb{R}^3$ el sistema siguiente, de acuerdo a los valor de los parámetros reales $a,b,c$:<br />$$ \begin{cases} 2x-y =a \\ <br />2z = b \\ <br />4x-2y-2z=c \end{cases}$$<br />$ $TEX: \noindent 3b. Deducir de lo anterior que existe una matriz $ P \in GL_3(\mathbb{R})$ tal que $B=P^-1AP$ donde <br />$$A= \begin{bmatrix} 4 & -1 & 0 \\ 0 & 2 & 2 \\ 4 & -2 & 0 \end{bmatrix} \hspace{10 pt } y \hspace{10 pt} B= \begin{bmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 2 \end{bmatrix} $$<br />$ $TEX: \noindent \textbf{Ejercicio 4}. Sea $E$ un $\mathbb{C}$-espacio vectorial de dimensión finita $n$ y $f \in \mathcal{L}_{\mathbb{C}}(E)$. Mostrar que:<br /><br />\noindent 4a. Si $\lambda \in \mathbb{C}$ es un valor propio no nulo de $f^2=f \circ f$ entonces $Ker (f^2-\lambda)= Ker (f-\alpha) \oplus ker (f+\alpha)$ donde $\alpha^2= \lambda $<br /><br />\noindent Deducir de lo anterior que si $f^2$ es diagonalizable y si $Ker f^2 = Ker f$, entonces $f$ es diagonalizable.<br />$ Mensaje modificado por Lichiel* el May 19 2015, 09:53 PM -------------------- $TEX: \begin{center} $ \aleph_0$ $<$ $\|?\|$ $< \aleph_1 $ \end{center}$ $TEX: Teorema: Si 2 personas tienen el mismo RUT entonces son la misma o existe un delito o el registro civil cometió un error, Denuncie.$ Quiero plata

Csikoz Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 20 2015, 01:28 PM Publicado: #2
Principiante Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 2 Registrado: 20-May 15 Miembro Nº: 137.884 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Hola, que libro me recomiendan para entender todo lo anterior??

felipemed Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 20 2015, 04:40 PM Publicado: #3
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 529 Registrado: 28-May 12 Desde: Chile Miembro Nº: 106.591 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	CITA(Csikoz @ May 20 2015, 01:28 PM) Hola, que libro me recomiendan para entender todo lo anterior?? +1 jajaja -------------------- “Everybody is a genius. But if you judge a fish by its ability to climb a tree, it will live its whole life believing that it is stupid.” ― Albert Einstein

nacharon Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 20 2015, 11:20 PM Publicado: #4
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 321 Registrado: 25-February 13 Miembro Nº: 115.593 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	busquen el Linear Algebra de Kenneth Hoffman y Ray Kunze, ese es choro. Pongo lo q hice en la 3: $TEX: <br />$ a)$ Pivoteando llegu\'e a $z=b/2$ y $x=(a+y)/2$; adem\'as debe cumplirse $b=2a-c$ porque de lo contrario el sistema no tiene soluci\'on. Si $b=2a-c$, entonces toda soluci\'on es de la forma<br />$$\begin{pmatrix}a/2\\<br />0\\<br />b/2\end{pmatrix}+y\begin{pmatrix} 1/2\\<br />1\\<br />0\end{pmatrix},\ \ y\in\mathbb R.$$<br /><br />$b)$ Consideremos $T=\mathbb R^3\to\mathbb R^3$ definida por $T(x)=Ax$. El problema consiste en mostrar que existe una base $\mathcal B=\{v_1,v_2,v_3\}$ tal que $[T]_\mathcal B^\mathcal B=B.$ Para encontrar $v_1$ notemos que la condici\'on que se est\'a pidiendo al tomar esa $B$ es $T(v_1)=2v_1$ (cosa de mirar la primera columna de $B$), o equivalentemente, que $(A-2I)v_1=0$. Como $A-2I$ es la matriz asociada al sistema de la parte $a)$, se puede encontrar una soluci\'on a $(A-2I)v_1=0$ tomando $a=b=c=0$ (se cumple que $b=2a-c$): $v_1=\begin{pmatrix}1/2\\<br />1\\<br />0\end{pmatrix}$ (elegimos $y=1$)\\<br />\\<br />Ahora buscamos $v_2$ tal que $T(v_2)=v_1+2v_2$ (segunda columna de $B$), lo que equivale a resolver $(A-2I)v_2=\begin{pmatrix}1/2\\<br />1\\<br />0\end{pmatrix}$. De nuevo se resuelve tomando $a=1/2$, $b=1$ y $c=0$ en la parte $a)$: una de las soluciones (con $y=1$) es $v_2=\begin{pmatrix}3/4\\<br />1\\<br />1/2\end{pmatrix}$.\\<br />\\<br />El vector $v_3$ se puede hallar igual: $T(v_3)=v_2+2v_3\Leftrightarrow (A-2I)v_3=\begin{pmatrix}3/4\\<br />1\\<br />1/2\end{pmatrix}$. Tomando $a=3/4$, $b=1$, $c=1/2$ e $y=1$ encontramos $v_3=\begin{pmatrix}7/8\\<br />1\\<br />1/2\end{pmatrix}$. La matriz $P$ buscada es<br />$$P=\begin{pmatrix}v_1&v_2&v_3\end{pmatrix}$$<br />(su acci\'on es cambiar las coordenadas de un vector en la base can\'onica a aquellas en la base $\mathcal B$, mientras que $P^{-1}$ hace la pega de vuelta: $A=P^{-1}BP$).<br />$ Espero no haberme equivocado xd

nacharon Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 21 2015, 01:24 PM Publicado: #5
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 321 Registrado: 25-February 13 Miembro Nº: 115.593 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	P4. Esta se me fue en collera, asi q tomo la idea del profe: 4a. $TEX: <br />Si $x=y+z$ con $y\in\text{ker}(f-\alpha)$ y $z\in\text{ker}(f+\alpha)$, entonces<br />$$f^{2}(x)=f(f(y)+f(z))=f(\alpha y-\alpha z)=\lambda y+\lambda z=\lambda x,$$<br />con lo que $x\in\text{ker}(f^2-\lambda)$.\\<br />\\<br />Si ahora $x$ est\'a en $\ker(f^2-\lambda)$, el truco es escribir $x=\frac{\alpha x+f(x)}{2\alpha}+\frac{\alpha x-f(x)}{2\alpha}$ (a\'un no cacho de donde viene esta elecci\'on). Se puede comprobar directamente que $\frac{\alpha x+f(x)}{2\alpha}\in\text{ker}(f-\alpha)$ y $\frac{\alpha x-f(x)}{2\alpha}\in\text{ker}(f+\alpha)$ usando que $f^2(x)=\lambda x$, con lo cual $x\in \text{ker}(f-\alpha)+\text{ker}(f+\alpha)$. \\<br />\\<br />Para comprobar que la suma es directa se puede ver que la intersecci\'on de ambos kernel es $\{0\}$:<br />$$\left.\begin{array}{r}f(x)=\alpha x\\<br />f(x)=-\alpha x\\<br />\alpha\not=0\end{array}\right\rbrace \Rightarrow x=0.$$<br /><br />4b. Sean $\lambda_1,\ldots,\lambda_p$ todos los valores propios distintos de $f^2$. Como $f^2$ es diagonalizable, puede escribirse <br />$$E=\bigoplus_{i=1}^p\text{ker}(f^2-\lambda_i)=\text{ker}(f^2-0)\oplus\left(\bigoplus_{\lambda_i\not=0}\text{ker}(f^2-\lambda_i)\right).$$<br />Por hip\'otesis $\text{ker} f^2=\text{ker}f$ y por la parte $a)$ se tiene $\text{ker}(f-\lambda_i)=\text{ker}(f-\alpha_i)\oplus\text{ker}(f+\alpha_i)$ si $\lambda_i\not=0$, por lo tanto<br />$$E=\text{ker}f\oplus\left(\bigoplus_{\alpha_i\not=0}\text{ker}(f-\alpha_i)\oplus\text{ker}(f+\alpha_i)\right).$$<br />Tomando un vector cualquiera en cada uno de estos kernel se obtiene una base de vectores propios de $f$ para $E$.<br />$

CnstMot Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 21 2015, 06:57 PM Publicado: #6
Doctor en Matemáticas Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 182 Registrado: 18-February 13 Desde: Santiago Miembro Nº: 115.462 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	CITA(nacharon @ May 21 2015, 01:24 PM) P4. Esta se me fue en collera, asi q tomo la idea del profe: 4a. $TEX: <br /><br /><br />4b. Sean $\lambda_1,\ldots,\lambda_p$ todos los valores propios distintos de $f^2$. Como $f^2$ es diagonalizable, puede escribirse <br />$$E=\bigoplus_{i=1}^p\text{ker}(f^2-\lambda_i)=\text{ker}(f^2-0)\oplus\left(\bigoplus_{\lambda_i\not=0}\text{ker}(f^2-\lambda_i)\right).$$<br />Por hip\'otesis $\text{ker} f^2=\text{ker}f$ y por la parte $a)$ se tiene $\text{ker}(f-\lambda_i)=\text{ker}(f-\alpha_i)\oplus\text{ker}(f+\alpha_i)$ si $\lambda_i\not=0$, por lo tanto<br />$$E=\text{ker}f\oplus\left(\bigoplus_{\alpha_i\not=0}\text{ker}(f-\alpha_i)\oplus\text{ker}(f+\alpha_i)\right).$$<br />Tomando un vector cualquiera en cada uno de estos kernel se obtiene una base de vectores propios de $f$ para $E$.<br />$ Qué buena pregunta -------------------- Standing above the crowd, He had a voice that was strong and loud and I Swallowed his facade cuz I'm so Eager to identify with Someone above the ground, Someone who seemed to feel the same, Someone prepared to lead the way, and Someone who would die for me. Will you? Will you now? Would you die for me?

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