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Control 2 EDO 2015/1, Profesora Salomé Martínez

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Felele Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 18 2015, 12:07 PM Publicado: #1
Doctor en Matemáticas Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 141 Registrado: 9-December 12 Miembro Nº: 114.238 Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Control 2 MA 2601, 2015/1 Prof. Salomé Martínez Aux. Álvaro Bustos, Cristóbal Rojas y Nicolás Torres Duración 3 hrs. P1. a) Determine la solución general de las siguientes ecuaciones: 1) (1 pt) $TEX: $y''-5y'=x-2$$ 2) (1 pt) $TEX: $y''+3y'+2y=\dfrac{1}{1+e^x}$$ b) (2 pt) Determine bajo qué condiciones para el parámetro $TEX: $\beta\geq0$$ el problema $TEX: $u''+u=cos(\beta x), \; \;\; u'(0)=u'(1)=0,$$ tiene solución. c) Considere el operador diferencial $TEX: $Ly(x)=x^2 y'(x)$$ . 1) (0,5 pt) Determine la solución de $TEX: $Ly=\lambda y$$ con $TEX: $\lambda$$ un número real. 2) (0,5 pt) Considere la ecuación $TEX: $x^4 y''+(2x^3-x^2)y'-12y=0$$ Demuestre que esta ecuación puede ser escrita como $TEX: $L^2 y-Ly-12y=0$$ , donde $TEX: $L^2=L \circ L$$ . 3) (1 pt) Encuentre una base de soluciones de esta ecuación en $TEX: $[0,\infty)$$ . Ind.: Pruebe que si $TEX: $Ly=\lambda y$$ , entonces $TEX: $L^2 y -Ly-12y=(\lambda ^2-\lambda -12)y$$ . P2 Sea $TEX: $g:[0,\infty)\rightarrow \mathbb{R}$$ continua. Considere la ecuación lineal de segundo orden: $TEX: $y''+g(x)y=0 $$ en $TEX: $[0,\infty)$$ , (1) y sean $TEX: $y_1 , y_2:[0,\infty)\rightarrow \mathbb{R}$$ dos soluciones linealmente independientes de (1). a) (0,5 pt) Demuestre que el wronskiano $TEX: $W(y_1,y_2)=y_1 y'_2-y_2 y'_1$$ es constante. b) (1 pt) Si definimos $TEX: $\xi = \frac{y_1}{y_2}$$ , definida en los intervalos donde $TEX: $y_2$$ no se anula, entonces $TEX: $\xi$$ satisface la ecuación: $TEX: $\xi ' = \dfrac{c}{y^2_2}$$ con $TEX: $c$$ una constante. c) Suponga que cualquier solución de (1) tiene un número finito de ceros en $TEX: $[0,\infty)$$ . Probaremos que se puede elegir $TEX: $\{\eta_1,\eta_2\}$$ una base de soluciones de (1) con las siguiente propiedades: (i) $TEX: $\displaystyle\lim_{x \to \infty } \frac{\eta_1}{\eta_2}=0$$ (ii) $TEX: $\displaystyle\int_{x_0}^{\infty}\frac{1}{\eta^2_1}dx=\infty$$ y $TEX: $\displaystyle\int_{x_0}^{\infty}\frac{1}{\eta^2_2}dx<\infty$$ , donde $TEX: $x_0$$ es un punto elegido para que $TEX: $\eta_1, \eta_2$$ no se anulen en $TEX: $[x_0,\infty)$$ . (iii) $TEX: $\eta_2$$ es no acotada en $TEX: $[0,\infty)$$ . Probaremos cada una de estas propiedades en las partes que vienen a continuación. 1) (1 pt) Para probar (i) demuestre que si $TEX: $y_1$$ e $TEX: $y_2$$ son una base de soluciones , entonces sin pérdida de generalidad podemos suponer que $TEX: $y_1,y_2>0$$ para $TEX: $x\geq \bar{x}$$ con $TEX: $\bar{x}$$ elegido para que $TEX: $y_1,y_2$$ no se anulen en $TEX: $[\bar{x},\infty)$$ . Luego, usando la parte b), demuestre que se tiene una de las siguientes posibilidades: a) $TEX: $\displaystyle\lim_{x \to \infty} \frac{y_1}{y_2}=0$$ ; b) $TEX: $\displaystyle\lim_{x \to \infty} \frac{y_1}{y_2}=\gamma >0$$ ; c) $TEX: $\displaystyle\lim_{x \to \infty} \frac{y_1}{y_2}=\infty$$ . Para concluir (i) demuestre que si se tiene el caso a) basta tomar $TEX: $\eta_1=y_1$$ , $TEX: $\eta_2=y_2$$ ; si se tiene el caso b) se define $TEX: $\eta_1=y_1-\gamma y_2$$ , $TEX: $\eta_2=y_2$$ ; y en el caso c) basta considerar $TEX: $\eta_1=y_2$$ y $TEX: $\eta_2=y_1$$ . Explique en cada caso porque las funciones $TEX: $\eta_1,\eta_2$$ son l.i. 2) (1pt) Para demostrar (ii) use la parte b) para expresar las integrales, considerando las funciones $TEX: $\dfrac{\eta_1}{\eta_2}$$ y $TEX: $\dfrac{\eta_2}{\eta_1}$$ . Use la parte (i). 3) (1 pt) Para concluir (iii), puede probar que si $TEX: $\|\eta_2\|$$ es acotada, entonces $TEX: $\displaystyle\int_{x_0}^{\infty}\frac{1}{\eta^2_2}dx=\infty$$ lo que contradice (ii). d) (1,5 pt) Dé un ejemplo de una función $TEX: $g$$ para la cual de satisface que todas las soluciones de (1) tienen un número finito de ceros en $TEX: $[0,\infty)$$ . Para su ejemplo, encuentre soluciones l.i. $TEX: $\eta_1,\eta_2$$ que satisfagan (i), (ii) y (iii). PD: en la P1 c) en el enunciado original la ecuacion y todas las partes siguientes terminaban en +12y (en vez de -12y), pero fue corregido durante el control. Mensaje modificado por Felele el May 18 2015, 12:12 PM