XXVI OMCS 2015, Chile Opciones

[Niklaash]

XXVI Olimpiada de Matemáticas del Cono Sur
Temuco, Chile 2015

Primera prueba
Viernes 15 de Mayo

Problema 1: Demostrar que para cualquier entero , no es divisible por

Problema 2: Se tienen 3n rectas (n>1), entre las que no hay dos que sean paralelas, ni tres que sean concurrente. Demuestre que si se pintan 2n rectas de color rojo y n de color azul, hay al menos dos regiones del plano, cuyos bordes son completamente rojos.

Aclaración: Para cada región, sus bordes están contenidos están contenidos en las rectas dadas; ninguna de las rectas dadas corta al interior de la región.

Problema 3: Dados una circunferencia , de radio 1 y un punto perteneciente a ella, sean dos puntos en tales que el triángulo es acutangulo y la distancia de a es . Para todo n mayor o igual a 1, se definen:

1) como el pie de la perpendicular desde .
2) como el centro de la circunferencia circunscrita al triangulo .
3) como el pie de la perpendicular desde a .
4) como la intersección entre y

Hallar la longitud del segmento .

Aclaración: La distancia de a la recta es la longitud del segmento , donde es el pie de la perpendicular desde a

Segunda prueba
Sábado 16 de Mayo

Problema 4: Sea un cuadrilatero convexo tal que y las diagonales y son perpendiculares. Sea el punto medio del segmento y sea . Sea un punto en tal que y son perpendiculares. Si y . Pruebe que es un cuadrado.

Problema 5: Determinar si existen enteros positivos , no necesariamente distintos, con la siguiente propiedad: no es divisible por para cualquier con n>m y m mayor o igual a 1.

Problema 6: Sea . Se dice que dos subconjuntos y de son amigos si cumplen las siguientes condiciones:

1) No tienen elementos en común.
2) Tienen la misma cantidad de elementos.
3) El producto de los elementos de es igual al producto de los elementos de .

Pruebe que existen dos subconjuntos de que son amigos y que contienen al menos 738 elementos cada uno.


Tiempo para cada prueba: 4 horas

Mensaje modificado por Niklaash el May 17 2015, 07:21 PM

[Pedantic Anarchy...]

Si se dan cuenta el problema 1 de esta prueba se encontraba con anterioridad en http://www.fmat.cl/index.php?showtopic=90279&st=0 (con exactamente los mismo números), la olimpiada nacional del año pasado. Me parece una irresponsabilidad. Imagino que los organizadores tendrán un banco de problemas a partir de donde proponen para armar las pruebas, será tan dificil tachar un problema de la lista cuando ya ha sido utilizado?, no creo que en este caso puedan excusarse en la falta de recursos. Por suerte era un problema trivial y no creo que tenga ninguna incidencia en verdad.

Mensaje modificado por Pedantic Anarchy el May 19 2015, 10:39 AM