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einstenio16 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 13 2015, 08:49 PM Publicado: #1
Dios Matemático Grupo: Team Ensayos FMAT Mensajes: 274 Registrado: 30-December 09 Miembro Nº: 64.740 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	XII CAMPEONATO ESCOLAR DE MATEMÁTICA Individual Segundo Nivel - 30 de Agosto de 2014 Problema 1: Encuentre el valor máximo de: $TEX: \[Z = 2014X + \gcd \left( {X,Y} \right)\]$ Donde $TEX: $X,Y\in\mathbb{Z}$$ , con $TEX: \[1 \le X < 2014\]$ y $TEX: \[1 \le Y < 2013\]$ . Problema 2: Determine el valor de: $TEX: \[S = f\left( {\dfrac{1}{{2011}}} \right) + f\left( {\dfrac{2}{{2011}}} \right) + ... + f\left( {\dfrac{{2010}}{{2011}}} \right) + f\left( {\dfrac{{2011}}{{2011}}} \right) + f\left( {\dfrac{{2011}}{{2010}}} \right) + ... + f\left( {\dfrac{{2011}}{1}} \right)\]$ siendo $TEX: \[f\left( x \right) = \dfrac{{{x^2}}}{{1 + {x^2}}}\]$ Saludos! -------------------- Estudiante de Ingeniería Matemática USACH No... ya no He vuelto con las pilas cargaditas!!! Cursillo de Trigonometría y Geometría Analítica

alonc Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 28 2015, 07:45 PM Publicado: #2
Maestro Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 76 Registrado: 31-May 14 Desde: mi casa Miembro Nº: 129.894 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	p1 es asi?? es conocido que como gcd(X,Y) divide a Y por lo tanto $TEX: gcd(X,Y)$\leq$Y$\leq$2012$ ahora partamos de que 2015>2012 /+2014X 2014(X+1)+1>2014(X)+2012 supongamos que el valor de gcd(X,Y) es maximo y el de gcd(X+1,Y)=1 es minimo reemplazamos $TEX: Z_{X+1}$ =2014(X+1)+gcd(X+1,Y)>2014(X)+gcd(X,Y)= $TEX: Z_X$ y de aqui concluimos que aunque la diferencia sea maximo de gcd(X+1,Y) y gcd(X,Y) siempre se cumple que $TEX: Z_{X+1}$ > $TEX: Z_X$ por lo que para maximizar Z x=2013=61113 entonces y=6111a donde 0<a<3 por supuesto que a pertenece a los enteros reemplazamos y Z=20142013+6111=44596673 Mensaje modificado por alonc el May 28 2015, 07:46 PM

jucca! Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 29 2015, 12:16 AM Publicado: #3
Maestro Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 119 Registrado: 23-January 14 Miembro Nº: 126.719	Problema 2 Sea $TEX: $f(x)=\dfrac{x^2}{1+x^2}=1-\dfrac{1}{1+x^2}$$ . Ahora, si empezamos a sumar el primer y último termino de S, tenemos $TEX: $$f\left(\dfrac{1}{2011}\right)+f\left(\dfrac{2011}{1}\right)=\left(1-\dfrac{2011^2}{2011^2+1}\right)+\left(1-\dfrac{1}{2011^2}\right)=1$$$ Análogo con cada termino, hasta el momento en que llegamos al termino central $TEX: $f\left(\dfrac{2011}{2011}\right)=\dfrac{1}{2}$$ . Así, $TEX: $S=2010+\dfrac{1}{2}$$

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