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juancodmw Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 1 2015, 08:08 PM Publicado: #1
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 783 Registrado: 23-April 13 Desde: Constitución Miembro Nº: 118.027 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	XI Campeonato Escolar de Matemáticas Cuarto Nivel Tercera prueba: Sábado 22 de Junio, 2013 Problema 1: Sea $TEX: $p(x) = (x + 2012)^{2013}$$ . Este polinomio se puede escribir de manera general como $TEX: $p(x) = a_{0} + a_{1}x + ... + a_{2013}x^{2013}$$ Encuentre una expresión para la suma de los términos $TEX: $a_{2i+1}$$ con $TEX: $i\in \lbrace 0,1,2,3,...,1006\rbrace$$ . Problema 2: Sea $TEX: $ABCD$$ un cuadrilátero convexo cuyas diagonales se intersectan en el punto $TEX: $O$$ . Sean $TEX: $I$$ , $TEX: $J$$ , $TEX: $K$$ y $TEX: $L$$ el incentro (centro de la circunferencia inscrita o intersección de las bisectrices) de los triángulos $TEX: $\triangle{OAB}$$ , $TEX: $\triangle{OBC}$$ , $TEX: $\triangle{OCD}$$ y $TEX: $\triangle{ODA}$$ , respectivamente. Pruebe que $TEX: $IJ^{2} + KL^{2} = IL^{2} + JK^{2}$$ . --------------------

CnstMot Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 2 2015, 12:22 AM Publicado: #2
Doctor en Matemáticas Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 182 Registrado: 18-February 13 Desde: Santiago Miembro Nº: 115.462 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	Hola la última vez que hice un ejercicio de estos fue cuando participé en el CMAT 2011 xD la 1: Tenemos que $TEX: $p(1) = 2013^{2013}$$ y $TEX: $p(-1) = 2011^{2013}$$ . Luego $TEX: $$p(1) = a_{0}+a_{1}+a_{2}+a_{3}+...+a_{2013} = 2013^{2013} $$ $$p(-1) = a_{0}-a_{1}+a_{2}-a_{3}+...-a_{2013} =2011^{2013}$$$ Por lo tanto $TEX: $\displaystyle p(1)+p(-1) = 2\sum_{i=0}^{1006}a_{2i} = 2013^{2013}+2011^{2013} $$ . Finalmente tenemos que $TEX: $$\sum_{i=0}^{1006} a_{2i+1} = 2013^{2013}-\frac{2013^{2013}+2011^{2013}}{2} $$$ -------------------- Standing above the crowd, He had a voice that was strong and loud and I Swallowed his facade cuz I'm so Eager to identify with Someone above the ground, Someone who seemed to feel the same, Someone prepared to lead the way, and Someone who would die for me. Will you? Will you now? Would you die for me?

vocin Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 2 2015, 12:03 PM Publicado: #3
Dios Matemático Supremo Grupo: Colaborador Silver Mensajes: 648 Registrado: 26-October 13 Desde: Tokyo-3 Miembro Nº: 123.749 Nacionalidad: Sexo:	P2: Es sabido que las bisectrices del AOB y del COD coinciden, al igual que las del BOC y DOA. Por lo tanto, IOK son colineales, al igual que JOL. Pero sabemos que IOL es recto (al ser bisectrices de ángulos suplementarios), de donde tenemos las siguientes relaciones (por pitágoras): $TEX: \( IJ^2=IO^2+JO^2 \)$ $TEX: \( JK^2=JO^2+KO^2 \)$ $TEX: \( KL^2=KO^2+LO^2 \)$ $TEX: \( LI^2=LO^2+IO^2 \)$ De donde es fácil concluir -------------------- Pro Tip: Es siempre recomendable saltarse los posts de Insanee/Legition I wish, that I could turn back time 'cos now the guilt is all mine can't live without the trust from those you love I know we can't forget the past you can't forget love & pride because of that, it's killing me inside

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