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juancodmw Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 1 2015, 07:59 PM Publicado: #1
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 783 Registrado: 23-April 13 Desde: Constitución Miembro Nº: 118.027 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	XI Campeonato Escolar de Matemáticas Cuarto Nivel Cuarta prueba: Sábado 03 de Agosto, 2013 Problema 1: Si una función deﬁnida en los reales satisface $TEX: $f(f(x))=xf(x)$$ $TEX: $\forall x$$ (1) Encuentre el valor de $TEX: $f(0)$$ (2) Encuentre todos los valores posibles de $TEX: $f(1)$$ Problema 2: Considere un triángulo $TEX: $ABC$$ , cuyos ángulos interiores en $TEX: $A$$ y $TEX: $B$$ miden $TEX: $60°$$ y $TEX: $80°$$ , respectivamente. Sea $TEX: $M$$ el punto medio del lado $TEX: $BC$$ , y tome un punto $TEX: $P\in AC$$ tal que $TEX: $MP\perp BC$$ . Sea $TEX: $CQ$$ una altura del triángulo $TEX: $ABC$$ , y tome un punto $TEX: $R\in AB$$ , distinto de $TEX: $B$$ , tal que $TEX: $BQ = QR$$ . Los segmentos $TEX: $CQ$$ y $TEX: $CR$$ intersecan al segmento $TEX: $BP$$ en los puntos $TEX: $S$$ y $TEX: $T$$ , respectivamente. 1) Encuentre la medida de los ángulos: $TEX: $\angle{BAT}$$ y $TEX: $\angle{BRS}$$ . 2) Pruebe que las rectas $TEX: $\overleftrightarrow{AT}$$ y $TEX: $\overleftrightarrow{RS}$$ no son paralelas, y se intersecan en un punto $TEX: $X$$ en el mismo semiplano que $TEX: $C$$ , con respecto a la recta $TEX: $AB$$ . Determine la medida del ángulo $TEX: $\angle{AXR}$$ . (Ayuda: Para probar que $TEX: $X$$ y $TEX: $C$$ están en el mismo semiplano, con respecto a la recta $TEX: $AB$$ , basta justiﬁcar que $TEX: $\angle{SRA} + \angle{RAT} < 180°$$ ) --------------------

vocin Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 2 2015, 12:14 PM Publicado: #2
Dios Matemático Supremo Grupo: Colaborador Silver Mensajes: 648 Registrado: 26-October 13 Desde: Tokyo-3 Miembro Nº: 123.749 Nacionalidad: Sexo:	P1: Parte a: Evaluemos para $TEX: \( x=0 \)$ $TEX: \( f(f(0))=0 \)$ Evaluemos para $TEX: \( x=f(0) \)$ $TEX: \( f(f(f(0)))=f(0)f(f(0)) \)$ $TEX: \( f(0)=f(0)0 \)$ $TEX: \( f(0)=0 \)$ Parte b: Evaluemos para $TEX: \( x=1 \)$ $TEX: \( f(f(1))=f(1) \)$ Evaluemos para $TEX: \( x=f(1) \)$ $TEX: \( f(f(f(1)))=f(1)f(f(1)) \)$ $TEX: \( f(f(1))=f(1)f(1) \)$ $TEX: \( f(1)=f(1)f(1) \)$ $TEX: \( f(1)[f(1)-1]=0 \)$ De donde $TEX: \( f(1)=1 \)$ o $TEX: \( f(1)=0 \)$ -------------------- Pro Tip*: Es siempre recomendable saltarse los posts de Insanee/Legition I wish, that I could turn back time 'cos now the guilt is all mine can't live without the trust from those you love I know we can't forget the past you can't forget love & pride because of that, it's killing me inside

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