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juancodmw Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 1 2015, 07:45 PM Publicado: #1
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 783 Registrado: 23-April 13 Desde: Constitución Miembro Nº: 118.027 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	XI Campeonato Escolar de Matemáticas Cuarto Nivel Quinta prueba: Sábado 31 de Agosto, 2013 Problema 1: Sean $TEX: $\triangle{ABC}$$ un triángulo acutángulo y $TEX: $H$$ su ortocentro (punto de intersección de sus alturas). Se trazan dos circunferencias, con centros $TEX: $A$$ y $TEX: $B$$ , ambas pasando por el punto $TEX: $H$$ . Pruebe que el otro punto de intersección de estas circunferencias está en la circunferencia circunscrita del triángulo $TEX: $\triangle{ABC}$$ . Problema 2: Dados $TEX: $0\leqslant x,y \leqslant 1$$ , se define $TEX: $x\oplus y=x\sqrt{1-y^{2}}+y\sqrt{1-x^{2}}$$ Demuestre que $TEX: $0\leqslant x\oplus y\leqslant 1$$ . --------------------

vocin Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 1 2015, 08:29 PM Publicado: #2
Dios Matemático Supremo Grupo: Colaborador Silver Mensajes: 648 Registrado: 26-October 13 Desde: Tokyo-3 Miembro Nº: 123.749 Nacionalidad: Sexo:	P2: Escojamos $TEX: \( \alpha ,\beta \in [0,\frac{\pi}{2} ] \)$ tales que $TEX: \( cos \alpha = x \)$ y $TEX: \( cos \beta = y \)$ . Vemos inmediatamente que por el intervalo elegido, tanto $TEX: \( sin \alpha \)$ como $TEX: \( sin \beta \)$ son no negativos, por lo que tenemos: $TEX: \( x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-x^2} \)$ $TEX: \( =cos \alpha \sqrt{1-cos^2 \beta}+cos \beta \sqrt{1-cos^2 \alpha} \)$ $TEX: \( =cos \alpha \sqrt{sin^2 \beta}+cos \beta \sqrt{sin^2 \alpha} \)$ $TEX: \( =cos \alpha \|sin \beta \|+cos \beta \|sin \alpha \| \)$ $TEX: \( =cos \alpha sin \beta + \cos \beta sin \alpha \)$ $TEX: \( =sin (\alpha + \beta) \)$ Donde $TEX: \( 0 \leq \alpha+\beta \leq \pi \)$ , por lo que $TEX: \( =sin (\alpha + \beta) \)$ está entre 0 y 1. Esto implica que la relación original también lo está, concluyendo. -------------------- Pro Tip: Es siempre recomendable saltarse los posts de Insanee/Legition I wish, that I could turn back time 'cos now the guilt is all mine can't live without the trust from those you love I know we can't forget the past you can't forget love & pride because of that, it's killing me inside

juancodmw Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 1 2015, 08:40 PM Publicado: #3
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 783 Registrado: 23-April 13 Desde: Constitución Miembro Nº: 118.027 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	P2 (otra) Demostrando la desigualdad de la izquierda: $TEX: $y\leqslant 1\Longrightarrow y^{2}\leqslant 1\Longrightarrow 1-y^{2}\geqslant 0\Longrightarrow \sqrt{1-y^{2}}\geqslant 0$$ , como $TEX: $x\geqslant 0$$ , se tiene que $TEX: $x\sqrt{1-y^{2}}\geqslant 0$$ Analogamente $TEX: $y\sqrt{1-x^{2}}\geqslant 0$$ , sumando: $TEX: $x\sqrt{1-y^{2}}+y\sqrt{1-x^{2}}\geqslant 0$$ Para la desigualdad de la derecha, tomemos la siguiente desigualdad verdadera: $TEX: $(y-\sqrt{1-x^{2}})^{2}\geqslant 0\Longrightarrow y^{2}+1-x^{2}-2y\sqrt{1-x^{2}}\geqslant 0$$ $TEX: $\Longrightarrow y^{2}+1-x^{2}-2y\sqrt{1-x^{2}}+(-x^{2}y^{2})\geqslant (-x^{2}y^{2})$$ $TEX: $\Longrightarrow y^{2}(1-x^{2})-2y\sqrt{1-x^{2}}+1\geqslant x^{2}(1-y^{2})$$ $TEX: $(y\sqrt{1-x^{2}}-1)^{2}\geqslant x^{2}(1-y^{2})$$ $TEX: $\|y\sqrt{1-x^{2}}-1\|\geqslant x\sqrt{1-y^{2}}$$ Como $TEX: $x\geqslant 0\Longrightarrow x^{2}\geqslant 0\Longrightarrow 1+x^{2}\geqslant 1\Longrightarrow 1\geqslant 1-x^{2}\Longrightarrow 1\geqslant \sqrt{1-x^{2}}$$ y como $TEX: $y\leqslant 1$$ , se sigue que $TEX: $y\sqrt{1-x^{2}}\leqslant 1$$ , luego: $TEX: $1-y\sqrt{1-x^{2}}\geqslant x\sqrt{1-y^{2}}\Longrightarrow x\sqrt{1-y^{2}}+y\sqrt{1-x^{2}}\leqslant 1$$ y finalizamos. edit: error de tipeo xd Mensaje modificado por juancodmw el May 2 2015, 07:25 AM --------------------

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