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> Propuesto Cristina Hernandez IV, Formula de sherman-(jim)morrison
2.718281828
mensaje Apr 28 2015, 11:29 AM
Publicado: #1


Dios Matemático Supremo
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Es bien facil, y esta mas destinado a alumnos que recien estan con algebra lineal 1 o con matrices:
a) Sea P, matriz cuadrada de orden "n" tal que I+P es no singular.
Muestre que:
TEX: $(I+P)^{-1}=I-P(I+P)^{-1}=I-(I+P)P^{-1}$

b) Sean P de orden nxm y Q de orden mxn tal que I+PQ y I+QP son invertibles. Muestre primero que
TEX: $(I+PQ)^{-1}P=P(I+QP)^{-1}$ Para demostrar usando (a) que:
TEX: $(I+PQ)^{-1}=I-P(I+QP)^{-1}Q$
(Ojo con las I's, el orden es del de PQ o QP segun corresponda)

c)Deduzca de (b) La formula de Sherman-Morrison:

TEX: $$(A+xy^t)^{-1}=A^{-1}-\frac{A^{-1}xy^tA^{-1}}{1+y^tA^{-1}x}$$
Donde A es una matriz singular x e y vectores (matrices de nx1) n-dimensionales tales que TEX: $A+xy^t$ e TEX: $y^tA^{-1}x \neq -1$

Nota: Estas formulas son utiles sobre todo en modelos lineales en el cual se mide la influencia de cada observacion (dropear la observacion y ver que pasa con las estimaciones).

Saludos
Claudio.


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Claudio Henriquez Tapia
Ingeniero Civil Matemático UTFSM y Prof. DMAT UTFSM
Candidato a Doctor en Estadística UC. Campus San Joaquin
Si todo sale bien, estaría defendiendo en Julio 2024.

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