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> Inducción y números primos
Lichiel
mensaje Apr 16 2015, 08:49 PM
Publicado: #1


Dios Matemático Supremo
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Sexo:



TEX: \noindent Demuestre que para todo $x \geq 2 $ real se cumple $$ \prod_{p \leq x} p \leq 4^{x-1} $$ Donde $p$ es un numero primo.


--------------------

TEX: \begin{center} $ \aleph_0$ $<$ $|?|$ $< \aleph_1 $ \end{center}

TEX: Teorema: Si 2 personas tienen el mismo RUT entonces son la misma o existe un delito o el registro civil cometió un error, Denuncie.
Quiero plata
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coquitao
mensaje Apr 17 2015, 01:51 AM
Publicado: #2


Dios Matemático Supremo
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Claramente la desigualdad se cumple para TEX: $x=2$.

Supongamos que la desigualdad se cumple para TEX: $x \in \mathbb{N}_{>2}$ fijo (pero arbitrario). Partiendo del supuesto anterior demostremos que la desigualdad también se cumple para TEX: $x+1$. Si TEX: $x+1$ es un número par entonces la desigualdad a demostrar es una consecuencia inmediata de la hipótesis de inducción pues en tal caso

TEX: $\displaystyle \prod_{p\leq x+1} p = \prod_{p \leq x} p \leq 4^{x-1} < 4^{x}.$

Ahora bien, si TEX: $x+1=2k+1$ entonces

TEX: $\displaystyle \prod_{p \leq x+1} p = \prod_{p\leq 2k+1} p = \left(\prod_{p\leq k+1} p \right) \left(\prod_{k+1 < p\leq 2k+1} p\right) \leq 4^{k} \left(\prod_{k+1 < p\leq 2k+1} p\right) \qquad $ ......... (*)

Para acotar superiormente el producto TEX: $\prod_{k+1 < p\leq 2k+1} p$, utilizamos el hecho de que

TEX: $\displaystyle \prod_{k+1 < p\leq 2k+1} p \mid \binom{2k+1}{k}$

de esto se sigue que

TEX: $\displaystyle \prod_{k+1 < p\leq 2k+1} p \leq \frac{1}{2} \left( \binom{2k+1}{k} + \binom{2k+1}{k+1} \right) \leq \frac{1}{2} \cdot 2^{2k+1} = 4^{k}.$

De lo anterior y lo que se tenía en (*) se obtiene que

TEX: $\displaystyle \prod_{p \leq x+1} p \leq 4^{k} \left(\prod_{k+1 < p\leq 2k+1}p\right) \leq 4^{2k}$

y la demostración termina.

NOTAS.

- Esta desigualdad es uno de los ingredientes claves en la la prueba del postulado de Bertrand que Erdös publicó cuando tenía alrededor de 19 años. Algunos autores se refieren a esta desigualdad como desigualdad de Erdös-Kalmár (no es difícil averiguar el porqué de esta designación).
- El Teorema de los Números Primos es equivalente a lo siguiente:

TEX: $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \left(\prod_{p \leq n} p\right)^{1/n}=e.$

Esto implica en particular que existe TEX: $n_{0} \in \mathbb{N}$ tal que

TEX: $\displaystyle \prod_{p\leq n} p < (e+10^{-100})^{n}$

para cada TEX: $n\geq n_{0}$. Esto indica que el TEX: $4$ que figura en Erdös-Kamár no es precisamente la mejor constante posible que puede aparecer en el lado derecho de la desigualdad (para TEX: $n$'s suficientemente grandes).


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"Please forget everything you have learned in school; for you haven't learned it... Please keep in mind at all times the corresponding portions of your school curriculum; for you haven't actually forgotten them." -- E. Landau
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