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Y otra de la ListaCorta, Resuelto por Luffy [básico]

Luffy Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 19 2007, 06:42 PM Publicado: #1
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 556 Registrado: 16-August 06 Desde: Rio de Janeiro Miembro Nº: 1.950 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Pruebe que para $TEX: $a,b,c\in\mathbb{R}^+$$ se cumple: $TEX: $\dfrac{a}{\sqrt{a^2+8bc}}+\dfrac{b}{\sqrt{b^2+8ca}}+\dfrac{c}{\sqrt{c^2+8ab}}\ge 1$$ Saludos

Luffy Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 2 2008, 11:01 PM Publicado: #2
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 556 Registrado: 16-August 06 Desde: Rio de Janeiro Miembro Nº: 1.950 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Resuelto aquí

danielxbeats Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Mar 23 2012, 03:17 PM Publicado: #3
Doctor en Matemáticas Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 171 Registrado: 2-July 11 Miembro Nº: 91.387 Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(Luffy @ May 19 2007, 07:42 PM) Pruebe que para $TEX: $a,b,c\in\mathbb{R}^+$$ se cumple: $TEX: $\dfrac{a}{\sqrt{a^2+8bc}}+\dfrac{b}{\sqrt{b^2+8ca}}+\dfrac{c}{\sqrt{c^2+8ab}}\ge 1$$ Saludos colaborando con una solucion distinta a la expuesta AM-GM $TEX: $$<br />\frac{a}<br />{{\sqrt {a^2 + 8bc} }} + \frac{a}<br />{{\sqrt {a^2 + 8bc} }} + \frac{{a\left( {a^2 + 8bc} \right)}}<br />{{\left( {a + b + c} \right)^3 }} \geqslant 3\root 3 \of {\frac{a}<br />{{\sqrt {a^2 + 8bc} }}\frac{a}<br />{{\sqrt {a^2 + 8bc} }}\frac{{a\left( {a^2 + 8bc} \right)}}<br />{{\left( {a + b + c} \right)^3 }}} = \frac{{3a}}<br />{{a + b + c}}<br />$$$ idem para las otras, ahora sumando miembro a miembro: $TEX: $$<br />\frac{{2a}}<br />{{\sqrt {a^2 + 8bc} }} + \frac{{2b}}<br />{{\sqrt {b^2 + 8ca} }} + \frac{{2c}}<br />{{\sqrt {c^2 + 8ab} }} + \frac{{a\left( {a^2 + 8bc} \right) + b\left( {b^2 + 8ca} \right) + c\left( {c^2 + 8ab} \right)}}<br />{{\left( {a + b + c} \right)^3 }} \geqslant 3<br />$$$ o mejor aun $TEX: $$<br />\frac{a}<br />{{\sqrt {a^2 + 8bc} }} + \frac{b}<br />{{\sqrt {b^2 + 8ca} }} + \frac{c}<br />{{\sqrt {c^2 + 8ab} }} \geqslant \frac{1}<br />{2}\left( {3 - \frac{{a^3 + b^3 + c^3 + 24abc}}<br />{{\left( {a + b + c} \right)^3 }}} \right) \geqslant 1<br />$$$ ahora, debemos demostrar la ultima desigualdad que es equivalente a $TEX: $$\left( {a + b + c} \right)^3 \geqslant a^3 + b^3 + c^3 + 24abc$$$ que es cierta puesto que por AM-GM $TEX: $$a^3 + b^3 + c^3 \geqslant 3abc$$$ sumando un cero $TEX: $$a^3 + b^3 + c^3 + 24abc \geqslant 27abc$$$ entonces por transitividad se tiene que $TEX: $$\left( {a + b + c} \right)^3 \geqslant a^3 + b^3 + c^3 + 24abc \geqslant 27abc$$$ que es totalmente cierto por AM-GM Mensaje modificado por danielxbeats el Mar 23 2012, 03:19 PM -------------------- Pasión por los números Estudiante 4to año Ingeniería Civil en Obras Civiles $TEX: $$<br />\int_0^1 {\int_0^1 {\int_0^1 {...\int_0^1 {\frac{{dx_1 dx_2 dx_3 ...dx_n }}<br />{{1 - x_1 x_2 x_3 ...x_n }} = \zeta } } } } \left( n \right)<br />$$$ $TEX: $$\int_{0}^{1}x^{x}dx=-\sum_{n=1}^{+\infty }\left (-n \right )^{-n}$$$ $TEX: $$\int_{0}^{1}x^{-x}dx=\sum_{n=1}^{+\infty }n^{-n}$$$

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