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Luffy Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 19 2007, 06:23 PM Publicado: #1
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 556 Registrado: 16-August 06 Desde: Rio de Janeiro Miembro Nº: 1.950 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Sean $TEX: $a_1\ge a_2\ge ...\ge a_n \ge a_{n+1}=0$$ números reales. Pruebe que: $TEX: $\sqrt{\displaystyle\sum_{k=1}^na_k}\le \displaystyle\sum_{k=1}^n\sqrt{k}(\sqrt{a_k}-\sqrt{a_{k+1}})$$ Saludos

Luffy Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 2 2008, 10:53 PM Publicado: #2
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 556 Registrado: 16-August 06 Desde: Rio de Janeiro Miembro Nº: 1.950 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Hint: Inducción, y probar que la función $TEX: $F(x)=\sqrt{x+1}-\sqrt{x}$$ es decreciente

mamboraper Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Feb 4 2019, 08:49 AM Publicado: #3
Maestro Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 134 Registrado: 28-March 14 Miembro Nº: 128.100 Nacionalidad: Sexo:	$TEX: Siguiendo el hint, por inducción: Para $n=1$ se tiene. Supongamos que se tiene para $n$, veamos que también se tiene para $n+1$. En efecto, sea $a_1 \geq ... \geq a_n\geq a_{n+1}\geq a_{n+2}=0$, notemos que <br /><br />\begin{equation}<br /> \begin{split}<br />\sum_{k=1}^{n+1}{\sqrt{k}(\sqrt{a_k}-\sqrt{a_{k+1}})} & = \sum_{k=1}^{n-1}{\sqrt{k}(\sqrt{a_k}-\sqrt{a_{k+1}})} + \sqrt{n}(\sqrt{a_n}-\sqrt{a_{n+1}}) + \sqrt{n+1}(\sqrt{a_{n+1}}-\sqrt{a_{n+2}})\\<br />& = \left(\sum_{k=1}^{n-1}{\sqrt{k}(\sqrt{a_k}-\sqrt{a_{k+1}})} + \sqrt{n}(\sqrt{a_n}-\sqrt{a_{n+2}})\right) + (\sqrt{n+1}-\sqrt{n})\sqrt{a_{n+1}}\\<br />& \geq \sqrt{\sum_{k=1}^{n}{a_k}} + (\sqrt{n+1}-\sqrt{n})\sqrt{a_{n+1}}<br /> \end{split}<br />\end{equation}<br /><br />Pero notemos que <br /><br />\begin{equation}<br /> \begin{split} <br /> \sqrt{\sum_{k=1}^{n}{a_k}} + \sqrt{\sum_{k=1}^{n+1}{a_k}} & \geq \sqrt{(n+1)a_{n+1}} + \sqrt{na_{n+1}}\\<br />& = (\sqrt{n+1} + \sqrt{n})\sqrt{a_{n+1}}\\<br />& = \frac{\sqrt{a_{n+1}}}{\sqrt{n+1} - \sqrt{n}}<br /> \end{split}<br />\end{equation} <br /><br />y además $\displaystyle\sqrt{\sum_{k=1}^{n}{a_k}} + \sqrt{\sum_{k=1}^{n+1}{a_k}} = \frac{a_{n+1}}{\sqrt{\sum_{k=1}^{n+1}{a_k}} - \sqrt{\sum_{k=1}^{n}{a_k}}}$, luego:\\ $\displaystyle\frac{a_{n+1}}{\sqrt{\sum_{k=1}^{n+1}{a_k}} - \sqrt{\sum_{k=1}^{n}{a_k}}}\geq \frac{\sqrt{a_{n+1}}}{\sqrt{n+1} - \sqrt{n}}\Rightarrow (\sqrt{n+1}-\sqrt{n})\sqrt{a_{n+1}} + \sqrt{\sum_{k=1}^{n}{a_k}}\geq \sqrt{\sum_{k=1}^{n+1}{a_k}}$. De esta manera, $$\sum_{k=1}^{n+1}{\sqrt{k}(\sqrt{a_k}-\sqrt{a_{k+1}})} \geq \sqrt{\sum_{k=1}^{n+1}{a_k}}$$ y concluímos lo pedido $\blacksquare$$ -------------------- Hago clases particulares (activo 2024). Cualquier consulta por MP.

Luffy Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Mar 9 2019, 07:52 AM Publicado: #4
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 556 Registrado: 16-August 06 Desde: Rio de Janeiro Miembro Nº: 1.950 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Correcto!

ElGatoSaez Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Mar 9 2019, 07:48 PM Publicado: #5
Doctor en Matemáticas Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 138 Registrado: 23-January 17 Desde: Concepción Miembro Nº: 149.792 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Increíble, la respuesta llegó luego de 11 años y el OP volvió para confirmar que estaba correcto -------------------- INTROSPECTIVE. Pet Shop Boys

SuKeVinBellaKo Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Mar 10 2019, 11:16 PM Publicado: #6
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 524 Registrado: 2-October 13 Miembro Nº: 122.939 Nacionalidad: Sexo:	CITA(ElGatoSaez @ Mar 9 2019, 07:48 PM) Increíble, la respuesta llegó luego de 11 años y el OP volvió para confirmar que estaba correcto volvere en 11 anyos mas a dar otra solucion solo para ver si el OP responde xD

Pasten Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 12 2019, 11:07 PM Publicado: #7
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 765 Registrado: 6-December 05 Miembro Nº: 458 Nacionalidad: Sexo:	11 años no es nada... -------------------- Pasten, un buen muchacho en quien confiar.

solitario Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 4 2019, 04:25 PM Publicado: #8
Principiante Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 13 Registrado: 25-June 12 Miembro Nº: 108.029 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Hola Pasten, He leído muchas de tus soluciones y me quedan algunas dudas, las cuales te quería pedir me las aclares, ¿Seria posible?

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