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> limites
Tesoro85
mensaje Apr 11 2015, 10:43 AM
Publicado: #1


Principiante Matemático
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ayuda en esto lim x^2+x-3=-3 cuando xtiende a -1 como hago porfa, y hay como dejar en funcion de delta o siempre delta debe ser 1
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nacharon
mensaje Apr 11 2015, 01:09 PM
Publicado: #2


Dios Matemático
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TEX: Para $\varepsilon>0$ arbitrario, debes HALLAR un $\delta>0$ (que generalmente depende de $\varepsilon$) tal que si $|x-(-1)|<\delta$ ENTONCES se logra que $|(x^2+x-3)-(-3)|<\varepsilon$: para esto necesitas hacer que $|f(x)-L|$ dependa de $|x-a|$, cosa de lograr el v\'inculo (el entonces) que queremos.\\<br />\\<br />Para encontrarlo f\'ijate en que lograr $|(x^2+x-3)-(-3)|<\varepsilon$ equivale a que se cumpla $|x||x-(-1)|<\varepsilon\ \ (*)$ (nota que esto ya depende de $|x-(-1)|$, pero tambi\'en de $|x|$). Esto se cumple obviamente si $x=0$, pero como estamos viendo $x\to -1$ nos interesan los $x$ cercanos a $-1$, asi que podemos restringirnos a analizar $x\in (-1-\frac{1}{2},-1+\frac{1}{2})=(-\frac{3}{2},-\frac{1}{2})$ (lo cual equivale a $|x-(-1)|<\frac{1}{2}$; primera condici\'on). Para estos valores de $x$ se tiene que $|x|>\frac{1}{2}$, por lo tanto en $(*)$ obtienes<br />$$|x-(-1)|<\frac{\varepsilon}{|x|}<2\varepsilon.$$<br />Esto \'ultimo depende solo de $|x-(-1)|$ (bien!), y lo que nos dice es que necesitamos $|x-(-1)|<2\varepsilon$ para lograr que $|(x^2+x-3)-(-3)|<\varepsilon$. Pero como pedimos tambi\'en $|x-(-1)|<\frac{1}{2}$, la conclusi\'on es que el $\delta$ asegura el \'exito es $\delta=\min\{2\varepsilon,\frac{1}{2}\}$ (queremos que se cumplan $|x-(-1)|<2\varepsilon$ y $|x-(-1)|<\frac{1}{2}$ a la vez, lo que se garantiza si $|x-(-1)|<\min\{2\varepsilon,\frac{1}{2}\}$).
Debes quedarte con la idea de que hay que BUSCAR el delta que sirve, y eso se puede lograr trabajando con |f(x)-L|<epsilon y restringiendo x a valores bien cercanos a -1, cosa de evitar problemas (como el de |x|=0, en este caso).
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