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Control 1 EDO 2015/1, Profesora Salomé Martínez

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Felele Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Apr 3 2015, 04:26 PM Publicado: #1
Doctor en Matemáticas Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 141 Registrado: 9-December 12 Miembro Nº: 114.238 Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Control 1 MA 2601, 2015/1 Prof. Salomé Martínez Aux. Álvaro Bustos, Cristóbal Rojas y Nicolás Torres Duración 3 hrs. P1. a) Determine la solución general de las siguientes (cuando sea posible, despeje la solución). 1) (1 pt) $TEX: $N'=N(1-N)$$ 2) (1 pt) $TEX: $y'=\frac{x+y}{x+y+1}$; use el cambio $z=x+y$.$ 3) (1 pt) $TEX: $(y')^{2}=x^4$$ 4) (1 pt) $TEX: $y'=\left\{\begin{matrix}<br />2y & si & y\leq 0\\ <br /> -3y& si & y\geq 0<br />\end{matrix}\right.$$ b) (2 pt) Considere la ecuación (1) $TEX: $x'=f\Big(\dfrac{x}{t}\Big)$$ en $TEX: $(0,\infty )$$ Bosqueje el diagrama de pendientes de las soluciones, cuando $TEX: $f(y)=\dfrac{y}{2}+2$$ , $TEX: $f(y)=2y-1$$ . Ind.: Le será útil notar que cuando $TEX: $x=\alpha t $$ con $TEX: $t>0$$ , se tiene que $TEX: $x'=f(\alpha)$$ , esto le permite dibujar las pendientes en el rayo $TEX: $x=\alpha t$$ con $TEX: $t>0$$ . Si $TEX: $f(\alpha)=\alpha$$ , qué sucede en la recta $TEX: $x=\alpha t$$ . P2. a) (1 pt) Sea $TEX: $y: I\rightarrow\mathbb{R} $$ diferenciable que satisface la siguiente desigualdad $TEX: $y'(t)\leq a(t)y(t) \;(\geq a(t)y(t))$$ para todo $TEX: $t\in I$$ con $TEX: $a:I\rightarrow\mathbb{R}$$ una funcion continua. Demuestre que $TEX: $\Big(y(t)e^{-\int a(t)dt}\Big)'\leq0 (\geq0)$$ donde $TEX: $\int a(t)dt$$ denota una primitiva de $TEX: $a$$ . Ind.: Le será útil multiplicar la desigualdad por la función $TEX: $e^{-\int a(t)dt}$$ . b) Sea $TEX: $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$$ una función con derivada $TEX: $f':\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$$ continua. Suponga que existe $TEX: $r$$ tal que $TEX: $f®=r$$ . 1) (0,5 pt) Considere la ecuación (1) $TEX: $x'=f\Big(\dfrac{x}{t}\Big)$$ en $TEX: $(0,\infty )$$ Demuestre que $TEX: $\phi(t)=rt$$ es una solución de esta ecuación. 2) (0,5 pt) Considere una solución $TEX: x(t)$ de (1), definida en un intervalo $TEX: $(0,b)$$ . Demuestre que si definimos $TEX: $y=x/t$$ , entonces $TEX: $y$$ satisface la ecuación (2) $TEX: $y'=\dfrac{f(y)-y}{t}$$ en $TEX: (0,b)$ 3) (1pt) Se puede probar usando el teorema de existencia y unicidad, que si para algún $TEX: $t>0$$ se tiene que $TEX: $y(t)=r$$ , entonces $TEX: $y\equiv r$$ . Usando esto, demuestre que si existe un $TEX: $t_0 \in (0,b)$$ tal que $TEX: $y(t_0)>r \;(y(t_0)<r)$$ entonces $TEX: $y(t)>r\;(y(t)<r)$$ para todo $TEX: $t\in (0,b)$$ . 4) (1 pt) Demuestre que si $TEX: $y$$ es una solución de (2) en $TEX: $(0,b)$$ entonces, $TEX: $y-r$$ satisface la ecuación $TEX: $(y-r)'=\dfrac{1}{t}[(f'®-1)(y-r)+g(y-r)]$$ , donde $TEX: $\frac{\|g(s)\|}{\|s\|}\rightarrow 0$$ cuando $TEX: $s\rightarrow0$$ . Ind.: Considere una expansión de Taylor de primer orden de la función $TEX: $f$$ en torno a $TEX: $r$$ , recuerde que $TEX: $f®=r$$ . 5) (0,5 pt) Por el comportamiento de $TEX: $g$$ sabemos que para todo $TEX: $\varepsilon>0$$ existe $TEX: $\delta>0 $$ tal que si $TEX: $\|y-r\|\leq\delta$$ entonces $TEX: $-\varepsilon s\leq g(s)\leq \varepsilon s$$ . Demuestre que si $TEX: $y$$ es una solución de (2) en $TEX: $(0,b)$$ y $TEX: $\|y(t)-r\|\leq\delta$$ en un intervalo $TEX: $(\alpha, \beta )$$ entonces $TEX: $\dfrac{f'®-1-\varepsilon}{y}(y-r)\leq(y-r)'\leq\dfrac{f'®-1+\varepsilon}{t}(y-r)$$ en $TEX: $(\alpha,\beta)$$ 6) (0,5 pt) Concluya de las desigualdades anteriores, usando la parte 2(a) integrando entre $TEX: $t$$ y $TEX: $\beta$$ que $TEX: $\beta^{-(f'®-1+\varepsilon)}(y(\beta)-r)t^{(f'®-1+\varepsilon)}\leq(y-r)\leq\beta^{-(f'®-1-\varepsilon)}(y(\beta)-r)t^{(f'®-1-\varepsilon)}$$ ; para todo $TEX: $t\in (\alpha,\beta)$$ 7) (0,5 pt) Concluya que si $TEX: $f'®>1$$ entonces cualquier solución $TEX: $y$$ con condición inicial $TEX: $0<y(\beta)-r<\delta$$ , satisface $TEX: $(y-r)\leq(y(\beta)-r)(\frac{t}{\beta})^{(f'®-1-\varepsilon)}$$ , para $TEX: $t<\beta$$ , por lo que siempre se tiene que $TEX: $y-r\rightarrow 0$$ cuando $TEX: $t\rightarrow 0$$ . 8) (1 pt) Demuestre que si $TEX: $f'®<1$$ entonces ninguna solución de la ecuación (2) definida en $TEX: $(0,b)$$ , distinta de la constante $TEX: $r$$ , puede satisfacer $TEX: $\displaystyle\lim_{t\rightarrow 0}y(t)=r$$ 9) (0,5 pt) Interpretemos estos resultados en el problema original. Suponiendo que $TEX: $f'®>1$$ , pruebe que existe $TEX: $\eta>0$$ tal que cualquier solución $TEX: $x:(0,b)\rightarrow\mathbb{R}$$ que satisface $TEX: $0<x(b)-rb<\eta$$ , es tangente en 0 a la solución $TEX: $\phi(t)=rt$$ , es decir, $TEX: $\displaystyle\lim_{t\rightarrow0}\frac{x(t)-\phi(t)}{t}=0$$ . Demuestre que si $TEX: $f'®<1$$ , entonces no existen soluciones $TEX: $x:(0,b)\rightarrow\mathbb{R}$$ tangentes a $TEX: $\phi(t)=rt$$ en 0. PD: en la p2 b 6) el enunciado original decia cuando t tiende a infinito, pero fue corregido durante el control. Mensaje modificado por Felele el Apr 3 2015, 04:56 PM