 I1 cálculo II licenciatura |
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 Apr 1 2015, 08:46 PM
Publicado:
#1
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 Dios Matemático  Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 321 Registrado: 25-February 13 Miembro Nº: 115.593 Nacionalidad:  Universidad:  Sexo:   |
La I1 de MAT1126 para los interesados. Dato: si el enunciado no dice lo contrario, se puede usar el hecho de que una función es integrable en [a,b] ssi el conjunto de discontinuidades de f en este intervalo tiene medida nula.
![TEX: <br />\begin{enumerate}<br />\item Sean $A,B\subset\mathbb R$ dos conjuntos acotados tales que $s\le S$ para todo $s\in A$ y $S\in B$. Demuestre que $\sup A=\inf B$ ssi para todo $\varepsilon>0$ existen $s_1\in A$ y $S_1\in B$ tales que $S_1-s_1<\varepsilon$.<br /><br /><br />\item Sea $f:[0,1]\to\mathbb R$ una funci\'on acotada e integrable. Demuestre la siguiente versi\'on del Lema de Riemann-Lebesgue:<br />$$ \lim_{\lambda\to\infty}\int_0^1f(t)\cos(\lambda t)dt=0.$$<br /><br />\item Sean $f,g:[a,b]\to\mathbb R$ continuas y tales que $f(x)\le g(x)$ para todo $x\in [a,b]$. Defina $\phi:[a,b]\to\mathbb R$ por <br />$$\phi(x)=\left\lbrace\begin{array}{l}f(x),$ si $x\in\mathbb{Q}\\<br />g(x),$ si $x\in\mathbb{Q}^c\end{array}\right. .$$<br />Demuestre que $\phi$ es integrable ssi $f=g$.<br /><br />\item Sea $f:[0,1]\to\mathbb R$ la funci\'on definida por<br />$$f(x)=\left\lbrace\begin{array}{l}0,$ si $x=1/n,n\in\mathbb N\\<br />1$ en caso contrario$\end{array}\right. . $$<br />\begin{enumerate}<br />\item Usando \textit{s\'olo} la definici\'on de integrabilidad, demuestre que $f$ es integrable en $[0,1]$.<br />\item Calcular $\int_0^1f(x)dx$.<br /><br />\end{enumerate}<br /><br />\end{enumerate}<br /><br /><br />](/tex-image/212b38187575db99a860db919b62c9ae.png) Anímense! Mensaje modificado por nacharon el Apr 1 2015, 09:26 PM |
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Apr 2 2015, 10:05 AM
Publicado:
#2
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 Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 550 Registrado: 24-July 11 Desde: Chillán Miembro Nº: 92.177 Nacionalidad: Colegio/Liceo:  Universidad: Sexo: |
Problema 1
 .Saludos. --------------------  |
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May 9 2015, 11:16 PM
Publicado:
#3
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Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 321 Registrado: 25-February 13 Miembro Nº: 115.593 Nacionalidad: Universidad: Sexo: |
en vista de que nadie se prendió, pongo lo que hice en la P4:
![TEX: Es mas o menos claro que para cualquier partici\'on $P$ de $[0,1]$ se tiene $S(f,P)=1$, con lo cual $\overline{\int_0^1}f(x)dx=1$. Hay que ver qu\'e pasa con las sumas inferiores:\\<br />\\<br />Para $\epsilon>0$, sea $t_1\in[0,1]$ tal que $t_1<\epsilon/2$ y escribamos $I_0=[0,t_1]$. Los $1/n$ que son mayores que $t_1$ forman un conjunto finito que puede escribirse como $C=\{1/n:n\le N\}$ para alg\'un $N$ natural; sea $r=|C|$. Teniendo esto en cuenta, elijamos una colección finita $\{I_k\}_{k=1}^r$ de intervalos cerrados disjuntos en $[0,1]$ tales que $\frac{1}{k}\in I_k$, $\forall k\in\{1,\ldots,r\}$, y tal que $\sum |I_k|<\epsilon/2$ (esto \'ultimo se puede lograr porque el conjunto es finito). Sea $P$ la partici\'on de $[0,1]$ formada por los extremos de todos los $I_k$ (incluso $I_0$), y denotemos por $\{J_k\}$ a todos los intervalos de $P$ que no corresponden a ninguno de los $I_k$, de modo que $[0,1]$ sea la uni\'on de los $I_k$ con los $J_k$.\\<br />\\<br />Notando que el \'infimo de $f$ es $0$ en los $I_k$ y $1$ en los $J_k$, vemos que para esta partici\'on se tiene<br />$$1-s(f,P)=1-\left(\sum_k \inf_{x\in I_k}f(x)|I_k|+\sum_k \inf_{x\in J_k}f(x)|J_k|\right)=1-\sum_k|J_k|$$<br />$$=\left|\bigcup_{k=0}^rI_k\right|=\sum_{k=0}^r|I_k|<\epsilon.$$<br />Por definici\'on se tiene que $\underline{\int_0^1}f(x)dx=1$ (claramente $1$ es cota superior de $\{s(f,P)\}$), por lo tanto $f$ es integrable. De aqu\'i sigue directamente que $\int_0^1f(x)dx=1$.<br /><br /><br />](/tex-image/bfa5c8d50bd20010a73ab38da0c2bfa5.png)
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