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De una pruebita de por ahi

pprimo Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Mar 4 2015, 03:31 PM Publicado: #1
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 817 Registrado: 21-February 14 Miembro Nº: 127.064	1. Calcular $TEX: $$\cos \left( 56 \right)\cdot \cos \left( 2\cdot 56 \right)\cdot \cos \left( 2^{2}\cdot 56 \right)\cdot ...\cdot \cos \left( 2^{23}\cdot 56 \right)$$$ 2. Sean $TEX: $$a, b, c$$$ numeros reales positivos tales que $TEX: $$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=3$$$ pruebe $TEX: $$\frac{1}{\sqrt{a^{3}+b}}+\frac{1}{\sqrt{b^{3}+c}}+\frac{1}{\sqrt{c^{3}+a}}\le \frac{3}{\sqrt{2}}$$$ 3. Sean $TEX: $$a, b, c, d$$$ numeros reales positivos tales que $TEX: $$a^{2}+d^{2}-ad=b^{2}+c^{2}+bc$$$ y $TEX: $$a^{2}+b^{2}=c^{2}+d^{2}$$$ encontrar el valor de $TEX: $$\frac{ab+cd}{ad+bc}$$$ 4. Encontrar todas las funciones $TEX: $$f$$$ definidas sobre los reales y que toma valores reales tales que $TEX: $$f\left( f\left( y \right) \right)+f\left( x-y \right)=f\left( xf\left( y \right)-x \right)$$$ para todo $TEX: $$x, y$$$ real 5. Es un numero primo $TEX: $$712!+1$$$ ¿? 6. Existen los numeros racionales $TEX: $$x, y, z$$$ tales que $TEX: $$\frac{1}{\left( x-y \right)^{2}}+\frac{1}{\left( y-z \right)^{2}}+\frac{1}{\left( z-x \right)^{2}}=2014$$$ Mensaje modificado por pprimo el Mar 5 2015, 05:16 PM

Cenizas con Most... Cenizas con Mostaza Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Mar 4 2015, 09:33 PM Publicado: #2
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 465 Registrado: 15-July 11 Miembro Nº: 91.905 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	CITA(pprimo @ Mar 4 2015, 03:31 PM) 3. Sean $TEX: $$a, b, c, d$$$ numeros reales positivos tales que $TEX: $$a^{2}+d^{2}-ad=b^{2}+c^{2}+bc$$$ y $TEX: $$a^{2}+b^{2}=c^{2}+d^{2}$$$ encontrar el valor de $TEX: $$\frac{ab+cd}{ad+bc}$$$ Este me gustó Sean $TEX: $M,P$$ puntos en el plano tales que $TEX: $\|MP\|=\sqrt{b^2+bc+c^2}$$ . Como $TEX: $b+c>\sqrt{b^2+bc+c^2}$$ , existe al menos un punto $TEX: $N$$ en el plano tal que $TEX: $\|NM\|=b$$ y $TEX: $\|NP\|=c$$ . En efecto, considere $TEX: $N\in \mathcal{C}(M,b)\cap \mathcal{C}(P,c)$$ . Por el teorema del coseno en el $TEX: $\triangle MNP$$ se tiene que $TEX: $\cos (\measuredangle MNP)=\dfrac{\|MN\|^2+\|NP\|^2-\|MP\|^2}{2\|MN\|\cdot \|NP\|}=\dfrac{-1}{2}$$ Esto indica que $TEX: $\measuredangle MNP=\dfrac{2\pi}{3}$$ . Por hipótesis note que $TEX: $\sqrt{a^2-ad+d^2}=\|MP\|$$ . Como $TEX: $a+d>\sqrt{a^2-ad+d^2}$$ entonces existen un único puntos $TEX: $Q$$ que satisfacen las dos siguientes condiciones. $TEX: $\|MQ\|=a$$ y $TEX: $\|QN\|=d$$ La recta $TEX: $\overleftrightarrow{MP}$$ separa el plano en dos semiplanos. $TEX: $Q$$ pertenece al complemento del semiplano al que pertenece el punto $TEX: $N$$ . En efecto, considere $TEX: $Q\in \mathcal{C}(M,a)\cap \mathcal{C}(P,d)$$ que satisface la segunda condición. Nuevamente por el teorema del coseno se tiene que $TEX: $\cos (\measuredangle MQP)=\dfrac{\|MQ\|^2+\|QP\|^2-\|MP\|^2}{2\|MQ\|\cdot \|QP\|}=\dfrac{1}{2}$$ Esto indica que $TEX: $\measuredangle MQP=\dfrac{\pi}{3}=\pi-\measuredangle MNP$$ . Se deduce que el cuadrilátero $TEX: $MNPQ$$ es cíclico. Sea $TEX: $\alpha=\measuredangle NMQ$$ . Luego $TEX: $\measuredangle NPQ=\pi-\alpha$$ y aplicando dos veces el teorema del coseno se tiene que $TEX: $a^2+b^2-2ab\cos(\alpha)=\|NQ\|^2=c^2+d^2-2cd\cos(\pi-\alpha)$$ Como $TEX: $a^2+b^2=c^2+d^2$$ se sigue que $TEX: $2(ab+cd)\cos(\alpha)=0$$ y al ser $TEX: $a,b,c,d$$ todos positivos, entonces $TEX: $\cos(\alpha)=0$$ , o sea $TEX: $\alpha=\dfrac{\pi}{2}$$ . Para finalizar, sea $TEX: $\mathcal{A}$$ el cuadrilátero $TEX: $MNPQ$$ . Note que $TEX: $\mu(A)=\mu(\triangle QMN)+\mu(\triangle QPN)=\dfrac{ab}{2}+\dfrac{cd}{2}=\dfrac{ab+cd}{2}$$ $TEX: $\mu(A)=\mu(\triangle MQP)+\mu(\triangle MNP)=\dfrac{ad}{2}\sin(\dfrac{\pi}{3})+\dfrac{bc}{2}\sin(\dfrac{2\pi}{3})=\dfrac{(ad+bc)\sqrt{3}}{4}$$ Finalmente $TEX: $\dfrac{ab+cd}{ad+bc}=\dfrac{2\mu(A)}{\frac{4}{\sqrt{3}}\mu(A)}=\dfrac{1}{2}\sqrt{3}$$ . $TEX: $\blacksquare$$ -------------------- He-llo? Could you say that again? More slowly? In a language I understand? Depending on what you said, I might kick your ass!

pprimo Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Mar 4 2015, 10:10 PM Publicado: #3
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 817 Registrado: 21-February 14 Miembro Nº: 127.064	este problema es de la prueba baltic way 2014

pprimo Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Mar 4 2015, 10:29 PM Publicado: #4
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 817 Registrado: 21-February 14 Miembro Nº: 127.064	Mi solucion es bastante simple xD tan simple que me gusto de la segunda ecuacion $TEX: $$a^{2}-c^{2}=d^{2}-b^{2}$$$ y de la primera $TEX: $$a^{2}-c^{2}+d^{2}-b^{2}=ad+bc$$$ mezclandolas se puede deducir que $TEX: $$2\left( a^{2}-c^{2} \right)=ad+bc$$$ analogamente $TEX: $$2\left( d^{2}-b^{2} \right)=ad+bc$$$ entonces multiplicando miembro a miembro y agrupando de forma inteligente $TEX: $$4\left( a^{2}-c^{2} \right)\left( d^{2}-b^{2} \right)=\left( ad+bc \right)^{2}$$$ $TEX: $$4\left( a+c \right)\left( d+b \right)\left( a-c \right)\left( d-b \right)=\left( ad+bc \right)^{2}$$$ $TEX: $$4\left( ad+bc+ab+cd \right)\left( ad+bc-\left( ab+cd \right) \right)=\left( ad+bc \right)^{2}$$$ $TEX: $$4\left( \left( ad+bc \right)^{2}-\left( ab+cd \right)^{2} \right)=\left( ad+bc \right)^{2}$$$ $TEX: $$4\left( ad+bc \right)^{2}-4\left( ab+cd \right)^{2}=\left( ad+bc \right)^{2}$$$ $TEX: $$3\left( ad+bc \right)^{2}=4\left( ab+cd \right)^{2}$$$ $TEX: $$\frac{3}{4}=\left( \frac{ab+cd}{ad+bc} \right)^{2}\Rightarrow \frac{ab+cd}{ad+bc}=\frac{\sqrt{3}}{2}$$$ se descarta la parte negativa porque los numeros son reales positivos Mensaje modificado por pprimo el Mar 4 2015, 10:29 PM

pprimo Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Mar 16 2015, 08:48 PM Publicado: #5
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 817 Registrado: 21-February 14 Miembro Nº: 127.064	el 6 es bien simple basta notar que $TEX: $$\frac{1}{\left( x-y \right)^{2}}+\frac{1}{\left( y-z \right)^{2}}+\frac{1}{\left( z-x \right)^{2}}=\left( \frac{1}{x-y}+\frac{1}{y-z}+\frac{1}{z-x} \right)^{2}-2\left( \frac{1}{x-y}\frac{1}{y-z}+\frac{1}{y-z}\frac{1}{z-x}+\frac{1}{z-x}\frac{1}{x-y} \right)$$$ $TEX: $$=\left( \frac{1}{x-y}+\frac{1}{y-z}+\frac{1}{z-x} \right)^{2}-2\cdot \frac{z-x+x-y+y-z}{\left( x-y \right)\left( y-z \right)\left( z-x \right)}=\left( \frac{1}{x-y}+\frac{1}{y-z}+\frac{1}{z-x} \right)^{2}$$$

jucca! Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 27 2015, 07:06 PM Publicado: #6
Maestro Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 119 Registrado: 23-January 14 Miembro Nº: 126.719	QUOTE(pprimo @ Mar 4 2015, 03:31 PM) 1. Calcular $TEX: $$\cos \left( 56 \right)\cdot \cos \left( 2\cdot 56 \right)\cdot \cos \left( 2^{2}\cdot 56 \right)\cdot ...\cdot \cos \left( 2^{23}\cdot 56 \right)$$$ Sea $TEX: $$x=\cos \left( 56 \right)\cdot \cos \left( 2\cdot 56 \right)\cdot \cos \left( 2^{2}\cdot 56 \right)\cdot ...\cdot \cos \left( 2^{23}\cdot 56 \right)$$$ Multiplicando por $TEX: $sen(56)$$ y ocupando que $TEX: $sen(x)cos(x)=\dfrac{1}{2}\sin(2x)$$ , tenemos que $TEX: $$\sin(56)x=\sin\left( 56 \right) \cos \left( 56 \right)\cdot \cos \left( 2\cdot 56 \right)\cdot \cos \left( 2^{2}\cdot 56 \right)\cdot ...\cdot \cos \left( 2^{23}\cdot 56 \right)$$$ $TEX: $$=\dfrac{1}{2}\sin(2\cdot 56)cos(2\cdot 56)...cos(2^{23}\cdot 56)$$$ Siguiendo así, llegamos a $TEX: $$\sin(56)x=\dfrac{1}{2^{23}}\sin(2^{23}\cdot 56)cos(2^{23}\cdot 56)=\dfrac{1}{2^{24}}\sin(2^{24}\cdot 56)$$$ Por lo tanto, $TEX: $\sin(56)x=\dfrac{1}{2^{24}}\sin(2^{24}\cdot 56)$$ . (Creo q esta es la parte principal del problema, y ojala q a alguien se le ocurre algo mejor xdd). Por demostrar que, $TEX: $\sin(56)=\sin(2^{24}\cdot 56)$$ es decir, deberíamos poder escribir $TEX: $$2^{24}\cdot 56=360\cdot r +56$$$ , para algún r entero. $TEX: $$r=\dfrac{2^{24}\cdot 56 - 56}{360}=\dfrac{56(2^{24}-1)}{360}=\dfrac{7(2^{24}-1)}{45}$$$ Entonces, si demostramos que $TEX: $45 \mid 2^{24}-1$$ tariamos' listo (por la periodicidad del seno). Notemos que $TEX: $64=2^{6}\equiv 19 (mod 45)$$ (), luego $TEX: $(2^{6})^2=2^{12}\equiv 19^{2}(mod 45)\equiv 1 (mod 45)$$ (). Multiplicando () y (*), tenemos $TEX: $2^{18}\equiv 19 (mod 45)$$ , luego por (), $TEX: $2^{24}\equiv 19^{2}(mod 45)\equiv 1 (mod 45)$.$ Por tanto, $TEX: $2^{24}\equiv 1 (mod 45)$$ y asi $TEX: $2^{24}-1\equiv 0 (mod 45)$$ . Luego r es entero. Finalmente $TEX: $$\cos \left( 56 \right)\cdot \cos \left( 2\cdot 56 \right)\cdot \cos \left( 2^{2}\cdot 56 \right)\cdot ...\cdot \cos \left( 2^{23}\cdot 56 \right)=\dfrac{1}{2^{24}}$$$

jucca! Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 27 2015, 07:07 PM Publicado: #7
Maestro Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 119 Registrado: 23-January 14 Miembro Nº: 126.719	QUOTE(pprimo @ Mar 4 2015, 03:31 PM) 4. Encontrar todas las funciones $TEX: $$f$$$ definidas sobre los reales y que toma valores reales tales que $TEX: $$f\left( f\left( y \right) \right)+f\left( x-y \right)=f\left( xf\left( y \right)-x \right)$$$ para todo $TEX: $$x, y$$$ real Sea $TEX: $$f\left( f\left( y \right) \right)+f\left( x-y \right)=f\left( xf\left( y \right)-x \right)$$$ , Como x,y son reales, tomemos $TEX: $x=y=0$$ , entonces $TEX: $$f(f(0))+f(0)=f(0) \to f(f(0))=0$$$ Definamos x=0, $TEX: $y=f(0)$$ entonces $TEX: $$f(f(f(0)))+f(-f(0))=f(0)\to f(-f(0))=0$$$ Si tomamos, $TEX: $x=y=f(0)$$ entonces, $TEX: $$f(f( f(0)))+f(0)=f(f(0)f(f(0))-f(0))\to 2f(0)=f(-f(0))=0$$$ asi $TEX: $f(0)=0$$ , sea y=0 reemplazando $TEX: $$f(f(0))+f(x)=f(xf(0)-x)\to f(x)=f(-x)$$$ Sea x=0, reemplazando $TEX: $$f(f(y))+f(y)=f(0)=0\to f(f(y))=-f(-y)()$$$ Sea $TEX: $y=f(y)$$ en (), luego $TEX: $$f(f(f(y)))=-f(f(y))$$$ Por otro lado, apliquemos f a (), asi $TEX: $$f(f(f(y)))=f(-f(y))=f(f(y))$$$ Sumando estos últimos resultado tenemos $TEX: $f(f(y))=0$$ , es decir $TEX: $f(f(y))=-f(-y)=-f(y)=0$$ . Por lo tanto, la única que función que cumple esto es $TEX: $f(x)=0$$ para x real. PD: Motivense con las q' faltan, y con el 5 q no se me ocurre xDD Mensaje modificado por jucca!* el May 27 2015, 07:10 PM

pprimo Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 27 2015, 08:34 PM Publicado: #8
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 817 Registrado: 21-February 14 Miembro Nº: 127.064	Hola, acabo de ver tu respuesta, no he leido tu solucion con calma pero llegaste a lo que se queria (: 2 y 5 quedan, esta demas decir que siempre es bienvenida una solucion alternativa saludos

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