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uno medio choro, pero pulento

juancodmw Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Feb 17 2015, 10:46 PM Publicado: #1
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 783 Registrado: 23-April 13 Desde: Constitución Miembro Nº: 118.027 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	calcule el valor de la suma: $TEX: $\displaystyle \sum_{k=0}^{n}{\cos{(\theta+k\alpha)}}$$ con cualquier método --------------------

vocin Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Feb 17 2015, 11:08 PM Publicado: #2
Dios Matemático Supremo Grupo: Colaborador Silver Mensajes: 648 Registrado: 26-October 13 Desde: Tokyo-3 Miembro Nº: 123.749 Nacionalidad: Sexo:	La idea que se me ocurrió es considerar los complejos $TEX: \( a=cos( \theta )+isin( \theta ) \)$ y $TEX: \( r=cos( \alpha )+isin( \alpha ) \)$ , en donde la suma pedida es igual a la parte real de $TEX: \( a+ar+ar^2+...+ar^n=a \frac{r^{n+1}-1}{r-1} \)$ y trabajar desde ahí, apenas termine (o me rinda) completo EDIT: Si no me fallaron las cuentas, me dio $TEX: \( \frac{cos(\theta+n\alpha)-cos(\theta+(n+1)\alpha)}{2-2cos(\alpha)} \)$ Mensaje modificado por vocin el Feb 17 2015, 11:20 PM -------------------- Pro Tip: Es siempre recomendable saltarse los posts de Insanee/Legition I wish, that I could turn back time 'cos now the guilt is all mine can't live without the trust from those you love I know we can't forget the past you can't forget love & pride because of that, it's killing me inside

juancodmw Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Feb 17 2015, 11:18 PM Publicado: #3
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 783 Registrado: 23-April 13 Desde: Constitución Miembro Nº: 118.027 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	CITA(vocin @ Feb 17 2015, 11:08 PM) La idea que se me ocurrió es considerar los complejos $TEX: \( a=cos( \theta )+isin( \theta ) \)$ y $TEX: \( r=cos( \alpha )+isin( \alpha ) \)$ , en donde la suma pedida es igual a la parte real de $TEX: \( a+ar+ar^2+...+ar^n=a \frac{r^{n+1}-1}{r-1} \)$ y trabajar desde ahí, apenas termine (o me rinda) completo esa es la idea, de ahí es una we.a terrible tediosa xd --------------------

pprimo Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Feb 18 2015, 01:25 PM Publicado: #4
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 817 Registrado: 21-February 14 Miembro Nº: 127.064	No tiene nada de choro xD es pasar a exp y darse la paja de arreglar la expresion y listo. Para pasar un buen rato http://www.fmat.cl/index.php?showtopic=84575 $TEX: $$S=\sum\limits_{k=0}^{n}{\cos \left( \theta +\alpha k \right)}=\cos \theta \sum\limits_{k=0}^{n}{\cos \alpha k}-\sin \theta \sum\limits_{k=0}^{n}{\sin \alpha k}$$$ $TEX: $$=\cos \theta \cdot \Re \sum\limits_{k=0}^{n}{\exp \left( \alpha ki \right)}-\sin \theta \cdot \Im \sum\limits_{k=0}^{n}{\exp \left( \alpha ki \right)}$$$ entonces $TEX: $$\sum\limits_{k=0}^{n}{\exp \left( \alpha ki \right)}=\frac{1-\exp ^{n+1}\left( \alpha i \right)}{1-\exp \left( \alpha i \right)}=\frac{1-\exp \left( \alpha i\left( n+1 \right) \right)}{1-\exp \left( \alpha i \right)}=\frac{1-\left( \cos \left( \alpha \left( n+1 \right) \right)+i\sin \left( \alpha \left( n+1 \right) \right) \right)}{1-\cos \alpha -i\sin \alpha }$$$ $TEX: $$=\frac{1-\cos \left( \alpha \left( n+1 \right) \right)-i\sin \left( \alpha \left( n+1 \right) \right)}{1-\cos \alpha -i\sin \alpha }\cdot \frac{1-\cos \alpha +i\sin \alpha }{1-\cos \alpha +i\sin \alpha }$$$ $TEX: $$=\frac{1}{2}\cdot \frac{1-\cos \alpha -\cos \left( \alpha \left( n+1 \right) \right)+\cos \left( \alpha n \right)}{1-\cos \alpha }+\frac{i}{2}\cdot \frac{\sin \alpha -\sin \left( \alpha \left( n+1 \right) \right)-\sin \left( \alpha n \right)}{1-\cos \alpha }$$$ $TEX: $$S=\frac{1}{2}\cos \theta \cdot \frac{1-\cos \alpha -\cos \left( \alpha \left( n+1 \right) \right)+\cos \left( \alpha n \right)}{1-\cos \alpha }-\frac{1}{2}\sin \theta \cdot \frac{\sin \alpha -\sin \left( \alpha \left( n+1 \right) \right)-\sin \left( \alpha n \right)}{1-\cos \alpha }$$$ $TEX: $$=\frac{1}{2}\frac{\cos \theta +\cos \left( \theta -\alpha n \right)-\cos \left( \alpha -\theta \right)-\cos \left( \theta +\alpha +\alpha n \right)}{1-\cos \alpha }$$$ $TEX: $$=\frac{\sin \left( \theta +\frac{\alpha }{2} \right)\sin \left( \alpha n+\frac{\alpha }{2} \right)-\sin \left( \frac{\alpha }{2} \right)\sin \left( \theta -\frac{\alpha }{2} \right)}{2\sin ^{2}\left( \frac{\alpha }{2} \right)}$$$ y me aburri xD no se si se pueda reducir mas...

juancodmw Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Feb 18 2015, 03:27 PM Publicado: #5
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 783 Registrado: 23-April 13 Desde: Constitución Miembro Nº: 118.027 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	CITA(pprimo @ Feb 18 2015, 01:25 PM) No tiene nada de choro xD es pasar a exp y darse la paja de arreglar la expresion y listo. Para pasar un buen rato http://www.fmat.cl/index.php?showtopic=84575 $TEX: $$S=\sum\limits_{k=0}^{n}{\cos \left( \theta +\alpha k \right)}=\cos \theta \sum\limits_{k=0}^{n}{\cos \alpha k}-\sin \theta \sum\limits_{k=0}^{n}{\sin \alpha k}$$$ $TEX: $$=\cos \theta \cdot \Re \sum\limits_{k=0}^{n}{\exp \left( \alpha ki \right)}-\sin \theta \cdot \Im \sum\limits_{k=0}^{n}{\exp \left( \alpha ki \right)}$$$ entonces $TEX: $$\sum\limits_{k=0}^{n}{\exp \left( \alpha ki \right)}=\frac{1-\exp ^{n+1}\left( \alpha i \right)}{1-\exp \left( \alpha i \right)}=\frac{1-\exp \left( \alpha i\left( n+1 \right) \right)}{1-\exp \left( \alpha i \right)}=\frac{1-\left( \cos \left( \alpha \left( n+1 \right) \right)+i\sin \left( \alpha \left( n+1 \right) \right) \right)}{1-\cos \alpha -i\sin \alpha }$$$ $TEX: $$=\frac{1-\cos \left( \alpha \left( n+1 \right) \right)-i\sin \left( \alpha \left( n+1 \right) \right)}{1-\cos \alpha -i\sin \alpha }\cdot \frac{1-\cos \alpha +i\sin \alpha }{1-\cos \alpha +i\sin \alpha }$$$ $TEX: $$=\frac{1}{2}\cdot \frac{1-\cos \alpha -\cos \left( \alpha \left( n+1 \right) \right)+\cos \left( \alpha n \right)}{1-\cos \alpha }+\frac{i}{2}\cdot \frac{\sin \alpha -\sin \left( \alpha \left( n+1 \right) \right)-\sin \left( \alpha n \right)}{1-\cos \alpha }$$$ $TEX: $$S=\frac{1}{2}\cos \theta \cdot \frac{1-\cos \alpha -\cos \left( \alpha \left( n+1 \right) \right)+\cos \left( \alpha n \right)}{1-\cos \alpha }-\frac{1}{2}\sin \theta \cdot \frac{\sin \alpha -\sin \left( \alpha \left( n+1 \right) \right)-\sin \left( \alpha n \right)}{1-\cos \alpha }$$$ $TEX: $$=\frac{1}{2}\frac{\cos \theta +\cos \left( \theta -\alpha n \right)-\cos \left( \alpha -\theta \right)-\cos \left( \theta +\alpha +\alpha n \right)}{1-\cos \alpha }$$$ $TEX: $$=\frac{\sin \left( \theta +\frac{\alpha }{2} \right)\sin \left( \alpha n+\frac{\alpha }{2} \right)-\sin \left( \frac{\alpha }{2} \right)\sin \left( \theta -\frac{\alpha }{2} \right)}{2\sin ^{2}\left( \frac{\alpha }{2} \right)}$$$ y me aburri xD no se si se pueda reducir mas... si, hice algo parecido y llegue a lo mismo, la solucion era algo entero reducido, pero eso está bien. saludos. --------------------

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