Ejercicio guiado: Una función constante.

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Ejercicio guiado: Una función constante., For newbies

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Cenizas con Most... Cenizas con Mostaza Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Feb 16 2015, 12:28 PM Publicado: #1
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 465 Registrado: 15-July 11 Miembro Nº: 91.905 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	Sea $TEX: $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$$ continua. Suponga que para todo $TEX: $x\in \mathbb{R}$$ se cumple que $TEX: $f(x)=f(x+\sqrt{2})=f(x+\sqrt{3})$$ El objetivo de este problema es demostrar que $TEX: $f$$ es constante. Para ello, considere las tres siguientes etapas. Parte 1: Sea $TEX: $(G,+)$$ subgrupo de $TEX: $(\mathbb{R},+)$$ . Demuestre que $TEX: $(G,+)$$ es cíclico o bien $TEX: $\overline{G}=\mathbb{R}$$ . Parte 2: Sean $TEX: $X,Y\subseteq \mathbb{R}$$ y $TEX: $f:X\to Y$$ una función continua. Sea $TEX: $A\subseteq X$$ tal que $TEX: $\overline{A}=X$$ . Demuestre que $TEX: $\overline{f(A)}=f(X)$$ Parte 3: Considere $TEX: $G=<\{\sqrt{2},\sqrt{3}\}>$$ . Ocupando los resultados anteriores concluya que $TEX: $f$$ es constante. -------------------- He-llo? Could you say that again? More slowly? In a language I understand? Depending on what you said, I might kick your ass!

mamboraper Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Oct 24 2020, 06:05 PM Publicado: #2
Maestro Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 134 Registrado: 28-March 14 Miembro Nº: 128.100 Nacionalidad: Sexo:	$TEX: Si $G = \{0\}$, es cíclico. Si $G\neq \{0\}$, entonces definamos $x = \inf\{a\in G: a>0\}$. Veamos que si $x = 0$ entonces $G$ es denso en $\mathbb{R}$, en efecto, sea $a\in\mathbb{R}$ y $\epsilon >0$, por definición de ínfimo sabemos que existe $y\in G$ tal que $0<y<\epsilon$ luego , si $a\geq 0$, sabemos que existe $n\in\mathbb{N}$ tal que $ny\leq a<(n+1)y$ entonces $0\leq a-ny<y<\epsilon $, y si $a<0$ existe $m\in\mathbb{N}$ tal que $-(m+1)y\leq a<-my$ entonces $0\leq a+(m+1)y<y<\epsilon$, luego como en cualquier caso $ny, -(m+1)y\in G$ sigue que $G$ es denso en $\mathbb{R}$. El otro caso es cuando $x>0$, partamos viendo que $x\in G$, si no lo está por definición de ínfimo existe $y,z\in G$ tal que $x+\frac{x}{2}>y>z>x$ luego $\frac{x}{2}>y-z>0$ pero $y-z\in G$ y es menor que $x$, contradicción, luego $x\in G$, ahora, veamos que $G = \langle x\rangle$, sea $y\in G$ supongamos sin perder generalidad que $y\geq 0$ luego existe $m\in\mathbb{N}$ tal que $mx\leq y<(m+1)x$, si $y>mx$ entonces $0<y-mx<x$ lo que es una contradicción con la definición de $x$ pues $y-mx\in G$, luego $y = mx\Rightarrow y\in\langle x\rangle$. De esta forma $G$ es cíclico o es denso en $\mathbb{R}$.\\<br /><br />Para la otra parte, es necesario precisar que $\overline{f(A)} = f(X)$ cuando la adherencia es con respecto a $f(X)$, luego sólo hay que ver que si $x\in X$ entonces existe $(x_n)\subset A$ tq $f(x_n)\to f(x)$ que es directo pues $X = \overline{A}$ y $f$ es continua.\\<br /><br />La última parte sale de notar que $G = \langle \sqrt{2},\sqrt{3}\rangle$ no es cíclico: si lo fuera existe $a\in \mathbb{R}$ que genera $G$, luego $\sqrt{2} = na$ y $\sqrt{3} = ma$ para algunos $m,n\in\mathbb{Z}$ luego $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \frac{m}{n}$ lo que es una contradicción pues $\sqrt{\frac{3}{2}}$ es irracional. Sigue por la primera parte que $G$ es denso en $\mathbb{R}$ y si $z\in G$ entonces $z = p\sqrt{2} + q\sqrt{3}$ con $p,q\in\mathbb{Z}$ luego por la propiedad que cumple $f$ se prueba inductivamente que $f(z) = f(0)$, luego $f(G) = \{f(0)\}$ luego por la parte anterior $f(\mathbb{R}) = \overline{\{f(0)\}} = \{f(0)\}$, así $f$ es constante.$ Mensaje modificado por mamboraper el Apr 27 2021, 12:57 PM -------------------- Hago clases particulares (activo 2024). Cualquier consulta por MP.

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