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> Numerao numerao, viva la numeración
Cenizas con Most...
mensaje Feb 14 2015, 11:36 PM
Publicado: #1


Dios Matemático
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Sea TEX: $X\subset \mathbb{R}$. Suponga que para todo TEX: $A\subseteq X$ con TEX: $|A|<\infty$ se cumple que TEX: $\displaystyle \sum_{a\in A} a\in ]-1,1[$. Demuestre que TEX: $X$ es finito o bien infinito numerable.


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mensaje Feb 15 2015, 02:14 AM
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Dios Matemático Supremo
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CITA(Cenizas con Mostaza @ Feb 14 2015, 11:36 PM) *
Sea TEX: $X\subset \mathbb{R}$. Suponga que para todo TEX: $A\subseteq X$ con TEX: $|A|<\infty$ se cumple que TEX: $\displaystyle \sum_{a\in A} a\in ]-1,1[$. Demuestre que TEX: $X$ es finito o bien infinito numerable.


A ver si no estoy muy oxidado.

Llamemos TEX: $$S(A)=\sum_{a\in A} a$$, para cualquier conjunto A finito (que se subentiende de TEX: $|A|<\infty$. Lo anterior puede entonces escribirse como:
TEX: $X \in \mathbb{R}$ tal que $\forall A \subseteq X$ finito, $|S(A)|< 1$ (P)
Es decir, X cumple (P).
Se deduce si X cumple (P), entonces cada elemento TEX: $x \in X$ cumple que TEX: $|x|<1$ (tomando cada elemento de X como un subconjunto de un solo elemento) Por lo tanto TEX: $X \subseteq ]-1,1[$
Dada la natural simetria del problema, definamos TEX: $X_-=X\cap ]-1,0[$ y TEX: $X_+=X \cap ]0,1[$, asi sin perdida de generalidad, trabajaremos con TEX: $X_+$ ya que al otro lado se trabaja analogamente. note que no hemos incluido al 0 ya que es irrelevante para la condicion de numerabilidad de X.

Considere el siguiente lema:

sean a,b tales que TEX: $0<a<b\leq 1$, si X cumple (P), entonces existe una cantidad finita de elementos de X tales que TEX: $a \leq x <b$

Dem lema: Por contradiccion, supongamos que X es infinito, ya que X cumple (p), consideremos TEX: $A_n=\{a_1,...a_n\}\subseteq X$, n natural. de esta forma TEX: |$S(a_n)<1$ para todo n. por otro lado, tenemos que TEX: $na<S(A_n)<nb$, la contradiccion viene dado que existe N (por la propiedad arquimediana) tal que 1<Na. y por ende TEX: $1<Na<S(a_N)$.

Para acabar con la demostracion consideremos una sucesion estrictamente decreciente TEX: $e_n,n \in\mathbb{N}$ con TEX: $e_1<1$ tales que TEX: $e_n \to 0$ e intervalos disjuntos TEX: $I_n=[e_n,e_{n-1}]$ (considerando TEX: $e_0=1$).

Note que TEX: $\bigcup_{k=1}^{\infty}I_k=]0,1[$ y por ende la union de todos los elementos de X (que de hecho es numerable) en cada TEX: $I_k$ es claramente TEX: $X_+$, esto es importante, ya que con esto mas el lema concluimos lo pedido.

El lema anterior se aplica a cada TEX: $I_k$, es decir, existe una cantidad TEX: $N_k$ de elementos de X en TEX: $I_k$. Por lo tanto dado que estamos ante una union numerable de conjuntos finitos (numerables por default y si funciona bien esta cosa del axioma de eleccion), se tiene que TEX: $X_+$ es a lo mas, numerable. De igual manera se demuestra que TEX: $X_-$ es a lo mas, numerable, y ya que la admision del 0 es irrelevante, se concluye que el conjunto X debe ser a lo mas numerable.

Saludos numerables
Claudio.


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Claudio Henriquez Tapia
Ingeniero Civil Matemático UTFSM y Prof. DMAT UTFSM
Candidato a Doctor en Estadística UC. Campus San Joaquin
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mensaje Feb 15 2015, 12:01 PM
Publicado: #3


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Correcto!

Acá va lo que hice

Dado TEX: $n\in \mathbb{N}$ sean TEX: $A_n=\{x\in X: x\ge \dfrac{1}{n}\}$, TEX: $B_n=\{x\in X: x\leq \dfrac{-1}{n}\}$. Suponga que TEX: $|A_n|\ge n$. Esto significa que existe TEX: $\{x_1,\ldots x_n\}\subseteq A_n$ tal que TEX: $x_i\not=x_j$ si TEX: $i\not=j$. Vea que TEX: $\sum_{i=1}^n x_i\ge 1$, lo que contradice la hipótesis. Así que TEX: $|A_n|<n$. Con un argumento similar se tiene que TEX: $|B_n|<n$. Sea TEX: $X_n=A_n\cup B_n$. Por lo anterior se tiene que TEX: $X_n$ es un conjunto finito.

Para concluir, note que TEX: $X=\displaystyle \bigcup_{n\in \mathbb{N}} X_n$ (el lado no tan obvio de la contención se justifica con principio arquimediano), o sea TEX: $X$ puede ser expresado como unión numerable de conjuntos finitos. Por lo tanto TEX: $X$ es a lo más numerable. TEX: $\blacksquare$

Como comentario, puede que mi solución se vea más corta y distinta que la de Claudio pero hay varios elementos en común. Por ejemplo:
  • Claudio demostró que TEX: $X\cap [a,b]$ era finito en cada intervalo cerrado. Ocupando la observación hecha por Claudio (X es acotado), eso era equivalente a lo que hice con las sucesiones de conjuntos que me formé, aunque no hice esa observación.
  • En un momento Claudio se tomó una sucesión TEX: $(e_n)_n\in \mathbb{N}$ tal que TEX: $e_n\to 0$. Yo tomé TEX: $e_n=\frac{1}{n}$ para construirme conjuntos adecuados.
  • Ambos descompusimos TEX: $X$ como unión numerable de conjuntos finitos. Esto era lo importante del problema. En este link.gif se tiene un problema muy similar (que me apareció en una guía de cuando tomé el curso de medida).

Saludos!


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mensaje Feb 15 2015, 02:43 PM
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wiiiiiiii, no estoy tan oxidado!!!, ya me empezaba a preocupar un poco. ahora por tu culpa se me pego la cancioncita del Puma... ajajajaj.

Saludos
Claudio.


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