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Ecuacion parte imaginaria

pprimo Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Feb 13 2015, 07:56 PM Publicado: #1
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 817 Registrado: 21-February 14 Miembro Nº: 127.064	Encuentre todos los n tales que se cumpla $TEX: $$\Im \left( \left( i+2 \right)^{n} \right)=1$$$

yipox Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 22 2015, 10:25 AM Publicado: #2
Principiante Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 4 Registrado: 26-February 08 Miembro Nº: 15.902 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Un acercamiento...Suponiendo que $TEX: $n \in \mathbb{Z}$$ . Considerando $TEX: $z \in \mathbb{C} $$ fijo pero arbitrario, es posible escribir $TEX: $z$$ en su forma polar como $TEX: $$ z=\|z\|[ \cos\theta +i\sin\theta] $$$ donde $TEX: $ \theta =Arg(z) $$ Luego $TEX: $$ z^n=\|z\|^n e^{in\theta} = \|z\|^n \left[ \cos n\theta + i\sin n\theta \right] $$$ Por lo tanto $TEX: $ Im(z^n) = \|z\|^n \sin n \theta $$ Utilizando esta igualdad, entonces $TEX: $ Im(z^n)=1 \quad \Leftrightarrow \quad \|z\|^n \sin n \theta = 1 $$ Ahora bien, para nuestro caso $TEX: $z=2+i$$ , por lo tanto, $TEX: $\|z\|=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$$ y $TEX: $\theta = \arctan{ \displaystyle\frac{1}{2} } = \displaystyle\frac{\pi}{4}$$ (pues $TEX: $2+i$$ , se encuentra en el primer cuadrante), por lo tanto $TEX: $$ Im((2+i)^n) = 1 \quad \Leftrightarrow \quad \sqrt{5}^n \sin \frac{n\pi}{4} = 1 $$$ Notar que para $TEX: $n \in \mathbb{Z}$$ , $TEX: $\sin \displaystyle\frac{n\pi}{4}$$ oscila entre los valores $TEX: $0,\pm 1, \pm \frac{\sqrt{2}}{2},$$ lo que conduce a que la ecuación no tenga solución para valores enteros de $TEX: $n$$ . Es posible determinar aproximaciones de las raíces utilizando algún método numérico, suponiendo que $TEX: $n \in \mathbb{R}$$ .

lang Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 22 2015, 11:27 AM Publicado: #3
Matemático Grupo: Validating Mensajes: 62 Registrado: 23-November 14 Miembro Nº: 134.118	CITA(yipox @ Jul 22 2015, 10:25 AM) Un acercamiento...Suponiendo que $TEX: $n \in \mathbb{Z}$$ . Considerando $TEX: $z \in \mathbb{C} $$ fijo pero arbitrario, es posible escribir $TEX: $z$$ en su forma polar como $TEX: $$ z=\|z\|[ \cos\theta +i\sin\theta] $$$ donde $TEX: $ \theta =Arg(z) $$ Luego $TEX: $$ z^n=\|z\|^n e^{in\theta} = \|z\|^n \left[ \cos n\theta + i\sin n\theta \right] $$$ Por lo tanto $TEX: $ Im(z^n) = \|z\|^n \sin n \theta $$ Utilizando esta igualdad, entonces $TEX: $ Im(z^n)=1 \quad \Leftrightarrow \quad \|z\|^n \sin n \theta = 1 $$ Ahora bien, para nuestro caso $TEX: $z=2+i$$ , por lo tanto, $TEX: $\|z\|=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$$ y $TEX: $\theta = \arctan{ \displaystyle\frac{1}{2} } = \displaystyle\frac{\pi}{4}$$ (pues $TEX: $2+i$$ , se encuentra en el primer cuadrante), por lo tanto $TEX: $$ Im((2+i)^n) = 1 \quad \Leftrightarrow \quad \sqrt{5}^n \sin \frac{n\pi}{4} = 1 $$$ Notar que para $TEX: $n \in \mathbb{Z}$$ , $TEX: $\sin \displaystyle\frac{n\pi}{4}$$ oscila entre los valores $TEX: $0,\pm 1, \pm \frac{\sqrt{2}}{2},$$ lo que conduce a que la ecuación no tenga solución para valores enteros de $TEX: $n$$ . Es posible determinar aproximaciones de las raíces utilizando algún método numérico, suponiendo que $TEX: $n \in \mathbb{R}$$ . $TEX: $\arctan \left (\frac12 \right)$ no es $\frac{\pi}{4}$$

pprimo Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 22 2015, 01:46 PM Publicado: #4
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 817 Registrado: 21-February 14 Miembro Nº: 127.064	CITA(yipox @ Jul 22 2015, 10:25 AM) Notar que para $TEX: $n \in \mathbb{Z}$$ , $TEX: $\sin \displaystyle\frac{n\pi}{4}$$ oscila entre los valores $TEX: $0,\pm 1, \pm \frac{\sqrt{2}}{2},$$ lo que conduce a que la ecuación no tenga solución para valores enteros de $TEX: $n$$ . pero si n=1 cumple

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