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otro, terrible fácil

juancodmw Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Feb 11 2015, 10:07 PM Publicado: #1
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 783 Registrado: 23-April 13 Desde: Constitución Miembro Nº: 118.027 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	En una circunferencia de centro $TEX: $O$$ sean $TEX: $A$$ y $TEX: $B$$ puntos de la circunferencia tales que $TEX: $\angle{AOB}=120$$ . El punto $TEX: $C$$ pertenece al menor arco y el punto $TEX: $D$$ pertenece a la cuerda $TEX: $AB$$ . Se sabe que $TEX: $AD=2$$ , $TEX: $BD = 1$$ y $TEX: $CD=\sqrt{2}$$ . Calcular el área del triángulo $TEX: $ABC$$ . edit: pa que no le entres dudas sobre "el menor arco", es el arco que subtiende a AOB. Mensaje modificado por juancodmw el Feb 11 2015, 10:33 PM --------------------

Adrianocor Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Feb 12 2015, 02:04 PM Publicado: #2
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 325 Registrado: 18-March 14 Miembro Nº: 127.725 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	por teo del coseno: $TEX: $DO^{2}=3+4-2(\sqrt{3})(2)\frac{\sqrt{3}}{2}=1$$ Luego el triángulo BOD es D-isósceles, luego <DOA=90º, luego las coordenadas de D son (0,1) Sea C(x,y) que pertenece a $TEX: $x^{2}=3-y^{2}$$ (1). Luego: $TEX: $DC^{2}=2=x^{2}+(y-1)^{2}$$ Reemplazando (1) se tiene que C(1,sqrt2) Sea BK la altura relativa a OA, como /\BKO es 30-60-90, $TEX: $KO=\frac{\sqrt{3}}{2}$$ y $TEX: $BK=\frac{3}{2}$$ Luego: $TEX: $A=(\sqrt{3},0)$$ , $TEX: $B=(\frac{-\sqrt{3}}{2},\frac{3}{2})$$ , $TEX: $C=(\sqrt{2},1)$$ Y por pitágoras: $TEX: $CA=\sqrt{6-2\sqrt{6}}$$ , $TEX: $AB=3$$ , $TEX: $BC=\sqrt{3+\sqrt{6}}$$ Y por teorema de herón para el área: (bien feo) $TEX: Área$\Delta ABC=\frac{3\sqrt{2}}{4}$$ eso me sale

juancodmw Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Feb 12 2015, 03:43 PM Publicado: #3
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 783 Registrado: 23-April 13 Desde: Constitución Miembro Nº: 118.027 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	bien, aunque te fuiste en pálida con tanta formula xd, siguiendo tu mismo procedimiento: es fácil ver que, como el OBD es isósceles, el angulo <AOD=60, ahora, como DC= $TEX: $\sqrt{2}$$ y BD=1 y OC= $TEX: $\sqrt{3}$$ , que es el radio de la circunferencia, se sigue que el triangulo ODC es rectángulo en D, de esto ultimo se concluye que <ADC=30, y lo pedido está a la vista. saludos. --------------------

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