Nivel 4, Individual Opciones

[juancodmw]

X Campeonato Escolar de Matemáticas
Cuarto Nivel

Primera prueba: Sábado 21 de Abril, 2012

Problema 1: Se tienen cuatro esferas de radio , cada una es tangente a las otras tres. Ellas son guardadas en una caja rectangular (cerrada) de manera tal que:

- Una de las caras de la caja es tangente a tres de las esferas y otra de las caras de la caja es tangente a dos de las esferas; estas dos caras tienen un lado en común.

- Cada una de las otras cuatro caras de la caja es tangente a sólo una esfera.

Determine las dimensiones de la caja.

Problema 2: Encuentre todos los tríos de números enteros consecutivos tales que:

-

-

[simio]

p1

llamemos A, B, C y D a los centros de cada esfera

evidentemente el poliedro ABCD es un tetraedro regular

luego, siguiendo el enunciado, el tetraedro está separado de cada cara de la caja la medida del radio de las esferas y está dispuesto de modo que una de sus caras es paralela a una cara de la caja y una de las aristas de dicha cara es paralela a una de las aristas de la cara de la caja ya mencionada, dicho esto falta calcular el apotema y la altura del tetraedro y sumar los radios correspondientes en cada caso

las medidas de las aristas de la caja son (se entiende que son de a pares):

4r , aquella que es paralela a una arista del tetraedro
r(2+√3) , aquella que compone (junto a la anterior) la cara paralela a una de las caras del tetraedro
2r(1+√(2/3)) la otra