Nivel 2, Individual Opciones

[juancodmw]

X Campeonato Escolar de Matemáticas
Segundo Nivel

Primera prueba: Sábado 21 de Abril, 2012

Problema 1: Pruebe que la suma de 4 números enteros positivos consecutivos no puede ser un cuadrado perfecto.

Problema 2: En una circunferencia con centro y radio se dibujan 2 diámetros perpendiculares entre sí. Se dibuja otra circunferencia con centro y radio tangente en los diámetros dibujados en los puntos y y tangente interiormente a la otra circunferencia en el punto . Determine en términos de .

[aataea]

Problema 1.

Podemos escribir la suma de los cuatro números consecutivos como n + (n +1) + (n+2) + (n+3) = 4n + 6

4n + 6 = C^2 ( cuadrado perfecto)
2(2n +3) = C^2

Como la suma es factorizable x 2, entonces C^2 lo podemos escribir como (2k)^2 ya que tiene que ser divisible x 2

2(2n +3) = 4k^2
2n +3= 2k^2

Aquí se llega a una solución absurda ya que un lado es par y el otro impar.

[juancodmw]

perfect! saludos

[simio]

P2

notar que r' es inradio de un triángolo determinado por , y la tangente a ambas circunferencias, usando la relación
Área=semiperímetro x inradio es inmediato que