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Seba² Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 28 2015, 08:11 AM Publicado: #11
Dios Matemático Grupo: Moderador Mensajes: 269 Registrado: 30-August 10 Desde: Santiago, Chile Miembro Nº: 76.269 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Supongamos por absurdo que $TEX: $ \|a-b\| < \sqrt{4n-3} $$ . Entonces se tiene que $TEX: $a^{2}-2ab+b^{2}< 4n-3$$ , es decir: $TEX: $(a+b)^{2}<(4n-3)+4ab=(4n-3)+4(n^{2}+1)=4n^2+4n+1=(2n+1)^{2}$$ De esto concluimos que $TEX: $ a+b<2n+1 \Rightarrow a+b \leq 2n$$ . Sea $TEX: $r=a+b\Rightarrow b=r-a$$ , entonces: $TEX: $a(r-a)=n^{2}+1 \Rightarrow a^{2}-ar+(n^{2}+1)=0$$ Viendo el discriminante, tenemos que $TEX: $r^{2}-4(n^{2}+1)=r^{2}-4n^{2}-4 \leq (2n)^{2}-4n^{2}-4=-4$$ debe ser un cuadrado perfecto, un absurdo $TEX: $\blacksquare$$ -------------------- Estudiante Instituto Nacional General José Miguel Carrera IV Medio(2013) 17 años. Estaba Jesús predicando en el monte Sinaí y dijo a sus discípulos: y = ax² + bx + c ¿Y eso qué es? Dijo uno de los discípulos. A lo que Jesús respondió: ¡Una parábola !

Cenizas con Most... Cenizas con Mostaza Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 28 2015, 10:56 AM Publicado: #12
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 465 Registrado: 15-July 11 Miembro Nº: 91.905 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	Nice! Dispara. -------------------- He-llo? Could you say that again? More slowly? In a language I understand? Depending on what you said, I might kick your ass!

Seba² Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 28 2015, 05:50 PM Publicado: #13
Dios Matemático Grupo: Moderador Mensajes: 269 Registrado: 30-August 10 Desde: Santiago, Chile Miembro Nº: 76.269 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Encuentre todas las funciones $TEX: $f: \mathbb{Z}^{+} \rightarrow \mathbb{Z}^{+}$$ tal que: $TEX: $m^{2}+f(n) \| mf(m)+n$$ para todo par de enteros positivos $TEX: $m$$ y $TEX: $n$$ . -------------------- Estudiante Instituto Nacional General José Miguel Carrera IV Medio(2013) 17 años. Estaba Jesús predicando en el monte Sinaí y dijo a sus discípulos: y = ax² + bx + c ¿Y eso qué es? Dijo uno de los discípulos. A lo que Jesús respondió: ¡Una parábola !

asdayuyi Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 28 2015, 05:52 PM Publicado: #14
Maestro Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 81 Registrado: 10-November 12 Miembro Nº: 112.735 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(nagernager @ Jan 18 2015, 05:06 PM) $TEX: Determinar todas las parejas de enteros positivos $(a, b)$ tales que la siguiente expresión es un entero positivo:$ $TEX: $\dfrac{a^2}{2ab^2-b^3+1}$$ Para b=1 tenemos que a=2k con k entero positivo, luego (2k,1) satisface, de ahora b>1 Sea $TEX: $c$$ entero+ tal que $TEX: $\dfrac{a^2}{2ab^2-b^3+1}=c$$ De ahi formamos la ecuacion cuadratica en a $TEX: $a^2-2acb^2+b^3c-c=0$$ Veamos que $TEX: $\Delta x=4b^4c^2-4b^3c+4c$$ Note que $TEX: $(2b^2c-b-1)^2<\Delta x<(2b^2c-b+1)^2$$ para b>1 De donde $TEX: $\Delta x=(2b^2c-b)^2>0$$ , de donde $TEX: $b^2=4c$$ , luego $TEX: $c=k^2$$ , $TEX: $b=2k$$ para un k entero positivo Ahora resolviendo la cuadratica tenemos que $TEX: $a=b^2c\pm b^2c-\dfrac{b}{2}$$ de donde, reemplazando se tiene que $TEX: $a=8k^4-k$$ y $TEX: $a=k$$ Por lo tanto los pares (a,b) que cumplen son $TEX: $(8k^4-k,2k),(k,2k),(2k,1)$$ donde k es entero positivo.

Cenizas con Most... Cenizas con Mostaza Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 28 2015, 06:16 PM Publicado: #15
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 465 Registrado: 15-July 11 Miembro Nº: 91.905 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	CITA(Seba² @ Jan 28 2015, 05:50 PM) Encuentre todas las funciones $TEX: $f: \mathbb{Z}^{+} \rightarrow \mathbb{Z}^{+}$$ tal que: $TEX: $m^{2}+f(n) \| mf(m)+n$$ para todo par de enteros positivos $TEX: $m$$ y $TEX: $n$$ . Tomando $TEX: $m=f(n)$$ se tiene que $TEX: $f(n)^2+f(n)\|f(n)f(f(n))+n$$ . Como $TEX: $f(n)\|f(n)^2+f(n)$$ se sigue que $TEX: $f(n)\|f(n)f(f(n))+n$$ , o sea $TEX: $f(n)\|n$$ . De acá se obtiene que $TEX: $\|f(n)\|\leq \|n\|$$ y como $TEX: $f(\mathbb{Z}^+)\subseteq \mathbb{Z}^+$$ entonces $TEX: $f(n)\leq n$$ . Por otra parte $TEX: $f(1)\|1$$ y entonces $TEX: $f(1)=1$$ . Tomando $TEX: $n=1$$ en la ecuación original se tiene que $TEX: $m^2+1\|mf(m)+1$$ , de donde $TEX: $m^2+1\leq mf(m)+1$$ , o sea $TEX: $m\leq f(m)$$ . Se concluye que $TEX: $f(n)=n$$ para todo $TEX: $n$$ natural. $TEX: $\blacksquare$$ . -------------------- He-llo? Could you say that again? More slowly? In a language I understand? Depending on what you said, I might kick your ass!

Seba² Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 28 2015, 06:17 PM Publicado: #16
Dios Matemático Grupo: Moderador Mensajes: 269 Registrado: 30-August 10 Desde: Santiago, Chile Miembro Nº: 76.269 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Dispara. -------------------- Estudiante Instituto Nacional General José Miguel Carrera IV Medio(2013) 17 años. Estaba Jesús predicando en el monte Sinaí y dijo a sus discípulos: y = ax² + bx + c ¿Y eso qué es? Dijo uno de los discípulos. A lo que Jesús respondió: ¡Una parábola !

Cenizas con Most... Cenizas con Mostaza Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 28 2015, 06:57 PM Publicado: #17
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 465 Registrado: 15-July 11 Miembro Nº: 91.905 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	Sea $TEX: $(a,b)\in \mathbb{Z}\times \mathbb{Z}$$ tal que $TEX: $a^2-4b$$ es un cuadrado perfecto. Escriba $TEX: $3ab$$ como la suma de tres cubos de números enteros. -------------------- He-llo? Could you say that again? More slowly? In a language I understand? Depending on what you said, I might kick your ass!

Cenizas con Most... Cenizas con Mostaza Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 29 2015, 08:48 PM Publicado: #18
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 465 Registrado: 15-July 11 Miembro Nº: 91.905 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	CITA(Cenizas con Mostaza @ Jan 28 2015, 06:57 PM) Sea $TEX: $(a,b)\in \mathbb{Z}\times \mathbb{Z}$$ tal que $TEX: $a^2-4b$$ es un cuadrado perfecto. Escriba $TEX: $3ab$$ como la suma de tres cubos de números enteros. Si necesitan un hint, vea acá Está aca Uhm, una de estas dos opciones Nope Siga participando o acá A lo mejor aquí ¿A qué le recuerda la expresión $TEX: $b^2-4ac$$ ? o aquí Chuck Testa -------------------- He-llo? Could you say that again? More slowly? In a language I understand? Depending on what you said, I might kick your ass!

Cenizas con Most... Cenizas con Mostaza Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Feb 2 2015, 05:47 PM Publicado: #19
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 465 Registrado: 15-July 11 Miembro Nº: 91.905 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	Sigh... lo que yo esperaba está acá. Sea $TEX: $f(X)=X^2-aX+b\in \mathbb{Z}[X]$$ . Usando que $TEX: $a^2-4b$$ es cuadrado perfecto y que $TEX: $a$$ y $TEX: $a^2-4b$$ poseen la misma paridad, se sigue que los ceros de $TEX: $f$$ son números enteros. Si $TEX: $u,v$$ son los ceros de $TEX: $f$$ entonces por Cardano Vieta se tiene que $TEX: $3ab=3(u+v)uv=(u+v)^3+(-u)^3+(-v)^3$$ . Con eso era suficiente. Si quieren algo más explícito, recuerden que por temas que uno ve en el colegio uno puede colocar explícitamente los valores de $TEX: $u$$ y $TEX: $v$$ , obteniendo que $TEX: $3ab=a^3+(\dfrac{-a+\sqrt{a^2-4b}}{2})^3+(\dfrac{-a-\sqrt{a^2-4b}}{2})^3$$ Nuevo propuesto (selectivo OMCS peruano) Un entero positivo $TEX: $n$$ se dirá representable si existen $a,b,c$ enteros positivos que cumplen las tres siguientes condiciones: $TEX: $n=a+b+c$$ $TEX: $a<b<c$$ $TEX: $a\|b$$ y $TEX: $b\|c$$ Demuestre que todo número suficientemente grande es representable. Encuentre el mayor número no representable. -------------------- He-llo? Could you say that again? More slowly? In a language I understand? Depending on what you said, I might kick your ass!

Sr Binomio Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Feb 4 2015, 06:31 PM Publicado: #20
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 409 Registrado: 13-July 12 Desde: Santiago Miembro Nº: 108.957 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	$TEX: <br />\noindent<br />Si $n$ es representable, también lo es $kn$. Note que si $n$ es un impar mayor que 5, entonces $n=2r+1=1+2+2(r-1)$ es representable. Ahora, $16=2^4=1+3+12$ es representable, por lo que $2^k$ es representable para k mayor que 3. Como todo natural se puede escribir de la forma $2^k\cdot q$, con $q$ impar, se sigue que cumplen la propiedad todos números de la forma $2^kq$ con $k$ mayor a 3 y $q$ mayor que 5, vale decir, para todo $n$ mayor que 40. Nos basta chequear los enteros menores a 40 de la forma $2^t, 3\cdot 2^t, 5\cdot 2^t$, con $t$ menor o igual a 3. Como 40=1+3+36, es representable, el mas grande que le antecede es el 24, el cual no satisface la propiedad. Este es el número buscado.\\<br /><br />$ De estar correcto, le cedo mi turno al que quiera proponer. Chau. -------------------- Kaissa Es ICM!

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