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nagernager Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 18 2015, 04:06 PM Publicado: #1
Doctor en Matemáticas Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 192 Registrado: 23-August 10 Miembro Nº: 75.906 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	Propongo una nueva maratón de problemas de olimpiada! La solución debe estar en menos de 48 horas, sino se postea otro problema.Las demás reglas es analogas a las anteriores maratones. Arranco con uno de teoría de números: Mensaje modificado por nagernager el Jan 18 2015, 04:07 PM

nagernager Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 18 2015, 04:06 PM Publicado: #2
Doctor en Matemáticas Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 192 Registrado: 23-August 10 Miembro Nº: 75.906 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	$TEX: Determinar todas las parejas de enteros positivos $(a, b)$ tales que la siguiente expresión es un entero positivo:$ $TEX: $\dfrac{a^2}{2ab^2-b^3+1}$$ Mensaje modificado por nagernager el Jan 18 2015, 04:09 PM

nagernager Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 22 2015, 03:51 PM Publicado: #3
Doctor en Matemáticas Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 192 Registrado: 23-August 10 Miembro Nº: 75.906 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	$TEX: En el pizarrón está escrito un número de tres cifras, todas distintas. Ana<br />Intercambia la primera cifra con la última. La suma del número escrito en el pizarrón más<br />el número de Ana es igual a 92 veces la suma de las dígitos del número escrito en el<br />pizarrón. Determinar todos los posibles valores del número escrito en el pizarrón.$ Mensaje modificado por nagernager el Jan 22 2015, 03:52 PM

jucca! Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 22 2015, 04:29 PM Publicado: #4
Maestro Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 119 Registrado: 23-January 14 Miembro Nº: 126.719	Sea $TEX: $x,y,z$$ el número que esta escrito en el pizarron. Sabemos que la suma del número escrito en el pizarron mas el mismo número invertido es igual a 92 veces la suma de los dígitos del número, o sea $TEX: $$xyz+zyx=92(x+y+z) \to 100x+10y+z+100z+10y+x=92(x+y+z)$$$ es decir $TEX: $9x+9z=72y \to x+z=8y$$ . Ahora notemos lo siguiente, como $TEX: $x,y,z$$ son números que van desde el 0 hasta el 9, $TEX: $y$$ solo puede tomar los valores $TEX: $1,2$$ . Analicemos los casos: Si $TEX: $y=1$$ , entonces $TEX: $x+z=8$$ , de donde las posibles combinaciones son $TEX: $(x,z)={(2,6),(3,5),(5,3),(6,2)}$$ , luego los números serian $TEX: $216, 315, 513, 612$$ . Si $TEX: $y=2$$ , entonces $TEX: $x+z=16$$ , de donde las posibles combinaciones son $TEX: $(x,z)={(7,9),(9,7)}$$ , luego los números serian $TEX: $729, 927$$ . Por tanto, todos los posibles números escritos en el pizarron son: $TEX: $216, 315, 513, 612, 729, 927$$ . Saludos !!

nagernager Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 22 2015, 04:44 PM Publicado: #5
Doctor en Matemáticas Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 192 Registrado: 23-August 10 Miembro Nº: 75.906 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	CITA(jucca! @ Jan 22 2015, 04:29 PM) Sea $TEX: $x,y,z$$ el número que esta escrito en el pizarron. Sabemos que la suma del número escrito en el pizarron mas el mismo número invertido es igual a 92 veces la suma de los dígitos del número, o sea $TEX: $$xyz+zyx=92(x+y+z) \to 100x+10y+z+100z+10y+x=92(x+y+z)$$$ es decir $TEX: $9x+9z=72y \to x+z=8y$$ . Ahora notemos lo siguiente, como $TEX: $x,y,z$$ son números que van desde el 0 hasta el 9, $TEX: $y$$ solo puede tomar los valores $TEX: $1,2$$ . Analicemos los casos: Si $TEX: $y=1$$ , entonces $TEX: $x+z=8$$ , de donde las posibles combinaciones son $TEX: $(x,z)={(2,6),(3,5),(5,3),(6,2)}$$ , luego los números serian $TEX: $216, 315, 513, 612$$ . Si $TEX: $y=2$$ , entonces $TEX: $x+z=16$$ , de donde las posibles combinaciones son $TEX: $(x,z)={(7,9),(9,7)}$$ , luego los números serian $TEX: $729, 927$$ . Por tanto, todos los posibles números escritos en el pizarron son: $TEX: $216, 315, 513, 612, 729, 927$$ . Saludos !! Impecable!. Propone. Saludos

jucca! Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 22 2015, 05:11 PM Publicado: #6
Maestro Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 119 Registrado: 23-January 14 Miembro Nº: 126.719	Ok! Determine todos los pares (m,n) de enteros positivos para los cuales $TEX: $$\dfrac{n^3+1}{mn-1}$$$ es entero.

jucca! Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 27 2015, 10:45 AM Publicado: #7
Maestro Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 119 Registrado: 23-January 14 Miembro Nº: 126.719	Demuestre que la siguiente ecuación no posee soluciones enteras: $TEX: $$x^3-117y^3=5$$$

Cenizas con Most... Cenizas con Mostaza Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 27 2015, 11:56 AM Publicado: #8
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 465 Registrado: 15-July 11 Miembro Nº: 91.905 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	CITA(jucca! @ Jan 27 2015, 10:45 AM) Demuestre que la siguiente ecuación no posee soluciones enteras: $TEX: $$x^3-117y^3=5$$$ La imagen de $TEX: $x^3-117y^3$$ en $TEX: $\mathbb{Z}/9\mathbb{Z}$$ es $TEX: $\{\overline{0},\overline{1},\overline{8}\}$$ y por lo tanto la ecuación no tiene soluciones enteras. -------------------- He-llo? Could you say that again? More slowly? In a language I understand? Depending on what you said, I might kick your ass!

jucca! Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 27 2015, 08:43 PM Publicado: #9
Maestro Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 119 Registrado: 23-January 14 Miembro Nº: 126.719	Respuesta correcta Cenizas!

Cenizas con Most... Cenizas con Mostaza Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 27 2015, 09:05 PM Publicado: #10
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 465 Registrado: 15-July 11 Miembro Nº: 91.905 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	Sea $TEX: $n\ge 1$$ y $TEX: $a,b$$ enteros positivos tales que $TEX: $n^2+1=ab$$ . Demuestre que $TEX: $\|a-b\|\ge \sqrt{4n-3}$$ -------------------- He-llo? Could you say that again? More slowly? In a language I understand? Depending on what you said, I might kick your ass!

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