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Medida de No-Compacidad

black cat Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jan 8 2015, 06:57 PM Publicado: #1
Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 61 Registrado: 10-May 14 Miembro Nº: 129.363 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	Sea $TEX: $$(X,d)$$$ un espacio métrico, sea $TEX: $$\mathcal{B}$$$ la familia de todos los conjuntos acotados de $TEX: $$X$$$ , es decir conjuntos con diametro finito. Definamos $TEX: $$\alpha : \mathcal{B} \rightarrow \mathbb{R}_{+}$$$ por: $TEX: $$\alpha(B) = \inf \left \{ d > 0: B \ \text{puede ser cubierto por una cantidad finita de conjuntos con diametro} \ \leq d \right \}, \forall B \in \mathcal{B}$$$ Supongamos que $TEX: $$(X,d)$$$ es completo y $TEX: $$(B_{n})_{n \in \mathbb{N}} \subseteq \mathcal{B}$$$ es una sucesión no decreciente de conjuntos cerrados no vacíos tales que $TEX: $$\alpha(B_{n}) \underset{n \rightarrow \infty}{\rightarrow} 0$$$ . Probar que entonces $TEX: $$\bigcap_{n \in \mathbb{N}}B_{n} \neq \emptyset$$$ y además es un conjunto compacto. Obs: Se dice que $TEX: $$\alpha$$$ es la $TEX: $$\text{Medida de No-Compacidad de Kuratowski}$$$ Mensaje modificado por black cat el Jan 8 2015, 08:36 PM

mamboraper Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Apr 14 2022, 06:21 PM Publicado: #2
Maestro Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 134 Registrado: 28-March 14 Miembro Nº: 128.100 Nacionalidad: Sexo:	$TEX: Lema: Sea $A\in \mathcal{B}$ y $(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$ una secuencia en $A$, luego, para todo $\eta>\alpha(A)$ existe una subsucesión $(x_{n_k})$ tal que $d(x_{n_i},x_{n_j})<\eta$ para todo $i, j$.\\<br /><br />Demostración del Lema: Basta ver que existe un recubrimiento finito $(V_j)_{j=1}^m$ de $A$ tal que $\text{diam}(V_j)<\eta$ para todo $j$, luego entonces debe existir una secuencia estrictamente creciente $(n_k)$ y $j$ tal que $x_{n_k}\in V_j$ para todo $k$ y se concluye.\\<br /><br />Se prosigue con la demostración del Problema. Tomaremos una secuencia $(x_n)\subset X$ tal que $x_n\in B_n$ para todo $n$. Se probará que $(x_n)$ posee una subsecuencia de Cauchy. Como $\alpha(B_n)\to 0$, existe una subsecuencia tal que $\alpha(B_{n_k})<\frac{1}{2^k}$ para todo $k$, luego, vemos que para $k=1$ se tiene que $(x_n)_{n\geq n_1}\subset B_{n_1}$ por tanto, usando el Lema se tiene que existe $g_1:\mathbb{N}\to\mathbb{N}_{\geq n_1}$ estrictamente creciente tal que $d(x_{g_1(n)},x_{g_1(m)})<\frac{1}{2^1}$ para todo $n,m$, luego, vemos que $(x_{g_1(n)})_{n\geq n_2}\subset B_{n_2}$ y por tanto existe $g_2:\mathbb{N}\to \mathbb{N}_{\geq n_2}$ estrictamente creciente tal que $d(x_{g_1\circ g_2(n)}, x_{g_1\circ g_2(m)})<\frac{1}{2^2}$. Inductivamente, estamos generando funciones estrictamente crecientes $g_k:\mathbb{N}\to \mathbb{N}_{\geq n_k}$ tales que $$d(x_{g_1\circ g_{2}\circ ...\circ g_k(n)},x_{g_1\circ g_{2}\circ ...\circ g_k(m)})<\frac{1}{2^k}$$ para todo $n,m$ y $(x_{g_1\circ g_{2}\circ ...\circ g_k(n)})_{n}\subset B_{n_k}$ para todo $k$. Entonces, consideramos la secuencia $(y_k := x_{g_1\circ g_{2}\circ ...\circ g_k(k)})_{k\in\mathbb{N}}$ (que es una subsucesión de $(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$), notamos que $y_k\in B_{n_k}$ y además $d(y_k,y_{k+1})<\frac{1}{2^k}$ para todo $k$, luego para $n>m$, $$d(y_n,y_m)\leq \sum_{j=n}^{m-1} d(y_j,y_{j+1})\leq \sum_{j=n}^{m-1} \frac{1}{2^j} = 2(\frac{1}{2^n}-\frac{1}{2^m})$$ lo que prueba que $(y_n)_{n\in\mathbb{N}}$ es de Cauchy. Sigue que existe $\hat{y}\in X$ tal que $y_k\to \hat{y}$ (por completitud), y es claro que $\hat{y}\in \bigcap_{n\in\mathbb{N}}{B_n}$ pues $(y_n)_{n\geq k}\in B_{n_k}$ para todo $k$, luego $\hat{y}\in B_{n_k}$ para todo $k$. Esto prueba que $\bigcap_{n\in\mathbb{N}}B_n\neq\emptyset$.\\<br /><br />Notamos que esto prueba, además, que $B=\bigcap_{n\in\mathbb{N}}B_n$ es compacto, pues una secuencia $(z_n)\subset B$ cumple que $z_n\in B_n$ para todo $n\in\mathbb{N}$ y podemos repetir el argumento anterior para obtener una subsecuencia de $(z_n)$ que es de Cauchy y por tanto converge a un elemento en $B$ (pues es cerrado), luego $B$ es compacto.$ pd: Esta técnica se le conoce como "argumento diagonal". -------------------- Hago clases particulares (activo 2024). Cualquier consulta por MP.

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