Maratón Preolímpica, orientada a las nuevas generaciones Opciones

[juancodmw]

simio lo deja disponible, go!

encuentre todas las parejas de primos tales que

[Adrianocor]

primero vemos la paridad:

1.
2.

como son primos, el único primo par es 2.
para el caso 1 queda:

considerando las funciones f(p)=p^2+2p y g(p)=2^p +1 es trivial que p=1 es solución y es única (basta hacer una interp, geométrica)
entonces el par p,q (1,2) es solución.
para el caso 2:
que resolviendo la cuadrática queda q=3

sol:
pares p,q (1,2) y (2,3)

[juancodmw]

primero vemos la paridad:

1.
2.

como son primos, el único primo par es 2.
para el caso 1 queda:

considerando las funciones f(p)=p^2+2p y g(p)=2^p +1 es trivial que p=1 es solución y es única (basta hacer una interp, geométrica)
entonces el par p,q (1,2) es solución.
para el caso 2:
que resolviendo la cuadrática queda q=3

sol:
pares p,q (1,2) y (2,3)

te pitiaste la primera solución, porque simplemente no cumple con lo pedido, pero esta bien, propone..

[alonc]

1 no es primo!!
(Dicen por ahi...)
No quiero hinchar porque este no
es foro para preguntas pero...
alguien podria explicar lo de interp.
geometrica?
Supongo que la pitiada estuvo como en la paridad...?
Si q impar p no necesariamente par...
Y.....
feliz año nuevo cabross!!

Mensaje modificado por alonc el Jan 1 2015, 12:29 AM

[vocin]

El tema de la interpretación geométrica es el siguiente: cuando hablamos de una igualdad de expresiones (como ) podemos pensarlo como dos funciones ( y ) y buscamos sus intersecciones. La gracia es que la función g(p) crece mucho más rápido que f(p), lo que hace que a medida que crece p, se van a ir alejando. Esto se puede ver en un gráfico como una descripción visual (aunque adolece de falta de formalidad)

[Adrianocor]

Jajaja me pifie caleta, 1 no es primo, me pifie en la paridad y me faltó un caso, sigue abierto tonces. Toy desde el celu
Saludos y feliz año, aguantee fmat

[juancodmw]

sipo, la gracia es demostrar que esa funcion se va a la chachu y es mayor q la otra a partir de cierto valor de p..feliz año nuevo gente!!!

[alonc]

Para demostrar que el
se va a la crest@ lo intentare de
otra forma que imagino que esta muy
lejos de la esperada... pero en cualquier
caso es un razonamiento matematico...
tomamos

Y suponemos que p yq son las menores soluciones
Por aquello aumentanos el valor de p en 1 y el valor de q en x y queda...
(Aqui la solu se empieza a ir a la chachu)


A esta ultima ecuacion le restamos la ecuacion original (la del enunciado) y queda

y volvemos a repetir el proceso,
Aumentamos p en 1 nuevamente y Q en R y queda...

A esta ecuacion que acabamos de obtener le restamos la ecuacion:

Y nos queda:

Donde es evidente que nos fuimos a la chachu 😉
Por lo que no podemos aumentar el valor p en 2 unidadesa
(A q no mecesariamente lo aumentamos ya que le sumamos
X y R que pueden tomar el valor de 0 pero igual esta cosa explota)
Por lo que tomamos la sol domde Q=P=1 y si aumentamos
P en una unidad nos queda p=2 que arroja la sol p=2 q=3
Y ahora no podremos aumentar el valor de p nuevamente
Y la unica solu primitiva (con primos) es p=2 q=3
y creo que es eso (imagino que lejisimos de lo que se esperaba
Pero creo que no he cometido ninguna falta...)
Saludos!!

Mensaje modificado por alonc el Jan 1 2015, 07:17 PM

[juancodmw]

propongan cabros!!

[alonc]

Algo un poco mas trivial pa que salga mas rapido...
Demuestre que

Es un cuadrado perfecto para cualquier valor de