Maratón Preolímpica, orientada a las nuevas generaciones Opciones

[vocin]

Tu resolución estaba (casi) correcta (solo un error de tipeo), faltaba justificar. Para ello, una posible manera era la siguiente:

-El incentro pertenece a una paralela a distancia r de cada lado: Es claro, ya que el incentro está a una distancia r de cada lado.

-El incentro pertenece a la circunferencia que trazaste (que debería ser con y'=(180-a)/2). Esto es claro conociendo el siguiente hecho: El circuncentro de I, C, A está sobre la circunscrita al ABC.



En la figura de arriba hemos llamado a los ángulos A, B, C, e I al incentro. Es claro que CAD=CBD=B/2, por ser inscritos al mismo arco; igual para el otro ángulo. De ahí que el ACD sea isósceles, AD=CD. Por otro lado, el AID es externo al ABI, de donde vale A/2+B/2, haciendo que sea isósceles el AID, con AD=ID. Juntando ambos resultados, tenemos que:

AD=ID=CD

De donde D es el circuncentro del AIC

Mensaje modificado por vocin el Dec 26 2014, 11:03 PM

[juancodmw]

esta claro que se forman 6 triángulos con la misma área, notemos en el triangulo ADC de la figura, tenemos 3 triángulos de igual área, por lo tanto, es claro que el área de AGC es el doble del área de AGD, como ambos triángulos comparten la misma altura (desde A hasta CD), implica que la base del AGC es el doble de la base de AGD, o sea CG:GD=2:1, se sigue para los demás triángulos.

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[simio]

Perfecto, yo pensaba en la demostración con vectores, por eso me quedaba la duda, no conocia otra, propones.

[juancodmw]

Problema 11

sea el un triángulo acutángulo y su ortocentro. Se trazan dos circunferencias, con centros y , ambas pasando por el punto . Pruebe que el otro punto de intersección de estas circunferencias está en la circunferencia circunscrita del triángulo .

[Niklaash]

Solucion

Probaremos que el cuadrilatero ACBE es cicliquitoxxxx

 Captura_de_pantalla_de_2014_12_27_01_42_13.png ( 36.41k ) Número de descargas:  0

Sea E el otro punto de interseccion de las circunferencias de centro A y B, ahora, es un hecho conocido que el eje radical DE (D ortocentro) es perpendicular a la union de los centros AB, de aqui se sigue que E,D y C son colineales. Por otro lado, se tiene que BE=BD, por ser radios, de donde el triangulo BED es isosceles en B, en consecuencia <ABE=<DBA. Por ultimo, si se prolonga BD hasta que intersecte a AC n otro punto, X, se sigue que el cuadrilatero FXCB es ciclico y <DBA=<ACD, de donde queda probada la ciclicidax

Saludos !!!

[juancodmw]

wenax, propones!

[juancodmw]

niklaash me autorizo a proponer (se fue a tomar el w.n xd)

Problema 12

Demostrar que si es un número compuesto, entonces uno de sus divisores (excluyendo a ) debe ser mayor que

=parte entera de ""

Mensaje modificado por juancodmw el Dec 27 2014, 02:23 PM

[Adrianocor]

pero si n>sqrt(n) y n es siempre divisible por n, para n mayor o igual a uno,, el resultado es trivial

[juancodmw]

pero si n>sqrt(n) y n es siempre divisible por n, para n mayor o igual a uno,, el resultado es trivial

es tu respuesta?

edit: mmm ya cache a lo que apuntas, editare el enunciado...

Mensaje modificado por juancodmw el Dec 27 2014, 02:22 PM

[simio]

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