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Maratón Preolímpica, orientada a las nuevas generaciones

Niklaash Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 17 2015, 08:03 PM Publicado: #311
Doctor en Matemáticas Grupo: Colaborador Silver Mensajes: 193 Registrado: 17-August 12 Desde: Loncuma :3 Miembro Nº: 110.077 Nacionalidad: Sexo:	QUOTE(asdayuyi @ Aug 16 2015, 01:17 PM) Esta como las **, propone era por la hora... Encuentre todas las funciones f:R->R que satisfacen $TEX: $f(xf(y))=xy$$ , para x,y en R Mensaje modificado por Niklaash** el Aug 17 2015, 08:04 PM

vocin Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 17 2015, 08:13 PM Publicado: #312
Dios Matemático Supremo Grupo: Colaborador Silver Mensajes: 648 Registrado: 26-October 13 Desde: Tokyo-3 Miembro Nº: 123.749 Nacionalidad: Sexo:	Para x=0, tenemos que $TEX: \( f(0)=0 \)$ . Supongamos que existe un a distinto de 0 tal que $TEX: \( f(a)=0 \)$ . Tomando y=a, x=1, tenemos que $TEX: \( f(0)=a \)$ , de donde a=0, contradicción. Entonces, si evaluamos para $TEX: \( x=\frac{1}{f(y)} \)$ (por supuesto, y distinto de 0) nos queda $TEX: \( f(1)=\frac{y}{f(y)}\)$ , de donde si llamamos $TEX: \( f(1)=c \)$ tenemos que las soluciones son de la forma $TEX: \( f(y)=\frac{y}{c} \)$ ; reemplazando llegamos que c=1, -1, de donde $TEX: \( f(x)=x \)$ o $TEX: \( f(x)=-x\)$ son las únicas soluciones. Mensaje modificado por vocin el Aug 17 2015, 08:17 PM -------------------- Pro Tip: Es siempre recomendable saltarse los posts de Insanee/Legition I wish, that I could turn back time 'cos now the guilt is all mine can't live without the trust from those you love I know we can't forget the past you can't forget love & pride because of that, it's killing me inside

Niklaash Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 17 2015, 09:10 PM Publicado: #313
Doctor en Matemáticas Grupo: Colaborador Silver Mensajes: 193 Registrado: 17-August 12 Desde: Loncuma :3 Miembro Nº: 110.077 Nacionalidad: Sexo:	QUOTE(vocin @ Aug 17 2015, 04:13 PM) Para x=0, tenemos que $TEX: \( f(0)=0 \)$ . Supongamos que existe un a distinto de 0 tal que $TEX: \( f(a)=0 \)$ . Tomando y=a, x=1, tenemos que $TEX: \( f(0)=a \)$ , de donde a=0, contradicción. Entonces, si evaluamos para $TEX: \( x=\frac{1}{f(y)} \)$ (por supuesto, y distinto de 0) nos queda $TEX: \( f(1)=\frac{y}{f(y)}\)$ , de donde si llamamos $TEX: \( f(1)=c \)$ tenemos que las soluciones son de la forma $TEX: \( f(y)=\frac{y}{c} \)$ ; reemplazando llegamos que c=1, -1, de donde $TEX: \( f(x)=x \)$ o $TEX: \( f(x)=-x\)$ son las únicas soluciones. correcto, propon nicov

vocin Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 17 2015, 09:25 PM Publicado: #314
Dios Matemático Supremo Grupo: Colaborador Silver Mensajes: 648 Registrado: 26-October 13 Desde: Tokyo-3 Miembro Nº: 123.749 Nacionalidad: Sexo:	Suponga que tenemos 4 naturales tales que ab=cd. Pruebe que (i) a^2+b^2+c^2+d^2 no es primo (ii) a^3+b^3+c^3+d^3 no es primo -------------------- Pro Tip: Es siempre recomendable saltarse los posts de Insanee/Legition I wish, that I could turn back time 'cos now the guilt is all mine can't live without the trust from those you love I know we can't forget the past you can't forget love & pride because of that, it's killing me inside

Tobal.alb Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Oct 3 2015, 01:25 AM Publicado: #315
Maestro Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 133 Registrado: 9-June 15 Desde: Valporro - Puerto Ron Miembro Nº: 138.365 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	$TEX: Sabemos que existe $k \in \mathbb{N}$ tal que $a=kc$ y $d=bk$, así tendremos:<br />\begin{eqnarray}<br />a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}&=&k^{2}c^{2}+b^{2}+c^{2}+k^{2}b^{2}\\<br />&=&(k^{2}+1)(c^{2}+d^{2}).<br />\end{eqnarray} Luego si la expresion (i) es un número se debe tener que $k^{2}+1=1$ o $c^{2}+b^{2}=1$, lo cual claramente no es posible dado que se tendría que $k=0$ o $c=0$ y $b=1$ o $b=0$ y $c=1$.$ $TEX: Para la expresión (ii) tendremos que:<br />\begin{eqnarray}<br />a^{3}+b^{3}+c^{3}+d^{3}&=&k^{3}c^{3}+b^{3}+c^{3}+b^{3}k^{3}\\<br />&=&(k^{3}+1)(c^{3}+b^{3})\\<br />&=&(k+1)(b+c)(k^{2}+k+1)(c^{2}+cb+b^{2}).<br />\end{eqnarray} Concluimos de manera análoga a (ii).$

vocin Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Oct 3 2015, 06:27 AM Publicado: #316
Dios Matemático Supremo Grupo: Colaborador Silver Mensajes: 648 Registrado: 26-October 13 Desde: Tokyo-3 Miembro Nº: 123.749 Nacionalidad: Sexo:	CITA(Tobal.alb @ Oct 3 2015, 02:25 AM) $TEX: Sabemos que existe $k \in \mathbb{N}$ tal que $a=kc$ y $d=bk$, así tendremos:<br />\begin{eqnarray}<br />a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}&=&k^{2}c^{2}+b^{2}+c^{2}+k^{2}b^{2}\\<br />&=&(k^{2}+1)(c^{2}+d^{2}).<br />\end{eqnarray} Luego si la expresion (i) es un número se debe tener que $k^{2}+1=1$ o $c^{2}+b^{2}=1$, lo cual claramente no es posible dado que se tendría que $k=0$ o $c=0$ y $b=1$ o $b=0$ y $c=1$.$ $TEX: Para la expresión (ii) tendremos que:<br />\begin{eqnarray}<br />a^{3}+b^{3}+c^{3}+d^{3}&=&k^{3}c^{3}+b^{3}+c^{3}+b^{3}k^{3}\\<br />&=&(k^{3}+1)(c^{3}+b^{3})\\<br />&=&(k+1)(b+c)(k^{2}+k+1)(c^{2}+cb+b^{2}).<br />\end{eqnarray} Concluimos de manera análoga a (ii).$ Correcto. Es un problema del Engel, y si mi memoria no falla la solución es levemente distinta. Llegando a casa la subo. Propones -------------------- Pro Tip: Es siempre recomendable saltarse los posts de Insanee/Legition I wish, that I could turn back time 'cos now the guilt is all mine can't live without the trust from those you love I know we can't forget the past you can't forget love & pride because of that, it's killing me inside

Tobal.alb Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Oct 3 2015, 11:06 AM Publicado: #317
Maestro Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 133 Registrado: 9-June 15 Desde: Valporro - Puerto Ron Miembro Nº: 138.365 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	Sea $TEX: $ABCD$$ un cuadrilátero convexo e inscriptible tal que las diagnales $TEX: $AC$$ y $TEX: $BC$$ son perpendiculares, y sea $TEX: $P$$ su punto de intersección. Demuestra que las reflexiones de $TEX: $P$$ respecto a $TEX: $AB$$ , $TEX: $BC$$ , $TEX: $CA$$ , $TEX: $DA$$ son concíclicos. Mensaje modificado por Tobal.alb el Oct 3 2015, 11:12 AM

vocin Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Oct 3 2015, 01:31 PM Publicado: #318
Dios Matemático Supremo Grupo: Colaborador Silver Mensajes: 648 Registrado: 26-October 13 Desde: Tokyo-3 Miembro Nº: 123.749 Nacionalidad: Sexo:	Tengo que hacer una acotación a tu solución. No necesariamente a=kc con k natural. Por ejemplo, puedo tener a=4, b=9, c=6 y d=6. Disculpa por no indicarlo, se me había pasado. Comparto la solución del Engel: -------------------- Pro Tip: Es siempre recomendable saltarse los posts de Insanee/Legition I wish, that I could turn back time 'cos now the guilt is all mine can't live without the trust from those you love I know we can't forget the past you can't forget love & pride because of that, it's killing me inside

Tobal.alb Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Oct 3 2015, 01:39 PM Publicado: #319
Maestro Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 133 Registrado: 9-June 15 Desde: Valporro - Puerto Ron Miembro Nº: 138.365 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	CITA(vocin @ Oct 3 2015, 01:31 PM) Tengo que hacer una acotación a tu solución. No necesariamente a=kc con k natural. Por ejemplo, puedo tener a=4, b=9, c=6 y d=6. Disculpa por no indicarlo, se me había pasado. Comparto la solución del Engel: Toda la razón, mis disculpas. de hecho tengo errores de tipeo en la sol, no a las drogas cabros.

asdayuyi Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Oct 4 2015, 08:34 PM Publicado: #320
Maestro Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 81 Registrado: 10-November 12 Miembro Nº: 112.735 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(Tobal.alb @ Oct 3 2015, 12:06 PM) Sea $TEX: $ABCD$$ un cuadrilátero convexo e inscriptible tal que las diagnales $TEX: $AC$$ y $TEX: $BC$$ son perpendiculares, y sea $TEX: $P$$ su punto de intersección. Demuestra que las reflexiones de $TEX: $P$$ respecto a $TEX: $AB$$ , $TEX: $BC$$ , $TEX: $CA$$ , $TEX: $DA$$ son concíclicos. Sean E,F,G,H dichas reflexiones, y sean X,Y,Z,W las intersecciones de PE,PF,PG,PH con AB,BC,CD,DA respectivamente. Es facil notar que los cuadrilateros XYZW y EFGH son homoteticos con centro P, por ende basta mostrar que XYZW es ciclico, en efecto notemos que <XWP=<XAP=<XPB=<XYB, de donde <XYP=90-<XWP, analogamente <ZYP=90-<ZWP, de donde 180=<XYP+<ZYP+<XWP+<ZWP=<W+<Y, con esto estay listo

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