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Maratón Preolímpica, orientada a las nuevas generaciones

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juancodmw Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 15 2015, 11:26 AM Publicado: #301
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 783 Registrado: 23-April 13 Desde: Constitución Miembro Nº: 118.027 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	Lo pedido es igual a $TEX: $\displaystyle \sum_{i=0}^{\infty}\dfrac{f_{i+1}}{2^{i}}$$ donde $TEX: $f_{n}$$ es el n-ésimo termino de la sucesión de fibonacci, se sabe que: $TEX: $\displaystyle f_n=\dfrac{1}{\sqrt{5}}\left(\left(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^n-\left(\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^n\right)$$ , por lo que desarrollamos la suma: $TEX: $S=\displaystyle \sum_{i=0}^{\infty}\dfrac{\dfrac{1}{\sqrt{5}}\left(\left(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{i+1}-\left(\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{i+1}\right)}{2^{i}}$$ $TEX: $S=\displaystyle \sum_{i=0}^{\infty}\left(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2\sqrt{5}}\right)\left(\dfrac{1+\sqrt{5}}{4}\right)^{i}-\left(\dfrac{1-\sqrt{5}}{2\sqrt{5}}\right)\left(\dfrac{1-\sqrt{5}}{4}\right)^{i}$$ $TEX: $S=\displaystyle \sum_{i=0}^{\infty}\left(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2\sqrt{5}}\right)\left(\dfrac{1+\sqrt{5}}{4}\right)^{i}-\sum_{i=0}^{\infty}\left(\dfrac{1-\sqrt{5}}{2\sqrt{5}}\right)\left(\dfrac{1-\sqrt{5}}{4}\right)^{i}$$ Notemos que tenemos dos PG en donde se tiene que $TEX: $\|r\|<1$$ por lo que podemos aplicar la suma infinita; $TEX: $S_{\infty}=\dfrac{a_{0}}{1-r}$$ , luego nos queda: $TEX: $S=\dfrac{\dfrac{1+\sqrt{5}}{2\sqrt{5}}}{1-\dfrac{1+\sqrt{5}}{4}}-\dfrac{\dfrac{1-\sqrt{5}}{2\sqrt{5}}}{1-\dfrac{1-\sqrt{5}}{4}}=2+\dfrac{4}{\sqrt{5}}-\left(\dfrac{4}{\sqrt{5}}-2\right)=4$$ saludos --------------------

pprimo Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 15 2015, 02:10 PM Publicado: #303
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 817 Registrado: 21-February 14 Miembro Nº: 127.064	CITA(vocin @ Aug 15 2015, 08:15 AM) Problema (espero que no lo hayan colocado jajjaja): Calcular $TEX: $ \displaystyle \frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{2}{4}+\frac{3}{8}+\frac{5}{16}+\frac{13}{32}+\cdots $$ el numerador no es fibonacci falta un 8 por ahi Mensaje modificado por pprimo el Aug 15 2015, 02:11 PM

vocin Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 15 2015, 03:14 PM Publicado: #304
Dios Matemático Supremo Grupo: Colaborador Silver Mensajes: 648 Registrado: 26-October 13 Desde: Tokyo-3 Miembro Nº: 123.749 Nacionalidad: Sexo:	CITA(pprimo @ Aug 15 2015, 03:10 PM) el numerador no es fibonacci falta un 8 por ahi Oops... la solución de juancodmw es correcta pero no la esperada. Propones de todas maneras. -------------------- Pro Tip: Es siempre recomendable saltarse los posts de Insanee/Legition I wish, that I could turn back time 'cos now the guilt is all mine can't live without the trust from those you love I know we can't forget the past you can't forget love & pride because of that, it's killing me inside

juancodmw Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 15 2015, 03:42 PM Publicado: #305
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 783 Registrado: 23-April 13 Desde: Constitución Miembro Nº: 118.027 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	ya, propongo Sea $TEX: $C_1$$ una circunferencia ﬁja y $TEX: $AB$$ una cuerda en ella. Sean $TEX: $P$$ un punto en uno de los arcos $TEX: $AB$$ y $TEX: $C_2$$ una circunferencia tangente a $TEX: $C_1$$ en $TEX: $P$$ y tangente a la cuerda $TEX: $AB$$ . Si $TEX: $Q$$ es el punto de tangencia de $TEX: $AB$$ a $TEX: $C_2$$ , demuestre que el ángulo $TEX: $APQ$$ es constante, para todo punto $TEX: $P$$ sobre el arco $TEX: $AB$$ . --------------------

asdayuyi Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 15 2015, 04:33 PM Publicado: #306
Maestro Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 81 Registrado: 10-November 12 Miembro Nº: 112.735 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Prolongamos PQ hasta que corte a C1 nuevamente en R, y sea S la otra interseccion de AP con C2. Si trazamos la tangente a C2 (y por ende a C1) por P, tenemos que <SQP=<ARP, y por otro lado <APQ=<SQA y <PAQ=<PRB, luego en el triangulo APQ, <APQ+<SQP+<SQA+<PAQ=2<APQ+<ARP+<PRB=180, de donde <APQ=(180-(<ARP+<PRB))/2=90-arco(AB)/4=cte. Saludines :*

juancodmw Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 15 2015, 04:54 PM Publicado: #307
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 783 Registrado: 23-April 13 Desde: Constitución Miembro Nº: 118.027 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	correcto, propone --------------------

asdayuyi Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 15 2015, 06:52 PM Publicado: #308
Maestro Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 81 Registrado: 10-November 12 Miembro Nº: 112.735 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Sea ABC un triángulo y sea I su incentro. La bisectriz interior del ángulo B corta a AC en P. Pruebe que si AP+AB=CB entonces el triángulo API es isósceles.

Niklaash Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 15 2015, 11:42 PM Publicado: #309
Doctor en Matemáticas Grupo: Colaborador Silver Mensajes: 193 Registrado: 17-August 12 Desde: Loncuma :3 Miembro Nº: 110.077 Nacionalidad: Sexo:	Solucion: Prolonguemos BA hasta P', de tal manera que AP'=AP, usando la hipotesis se tiene que el triangulo BP'C es isosceles en B, y BP es simetral de P'C, de esto, 2<P'CA=<P'PA=<AP'P, de donde por angulo exterior al triangulo APP', <BAP=2<AP'P, entonces <BAI=<AP'P, por otro lado como <ACB=<AP'P, se concluye por angulos exteriores que <AIP=API y estamos listekis Saludos!

asdayuyi Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 16 2015, 05:17 PM Publicado: #310
Maestro Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 81 Registrado: 10-November 12 Miembro Nº: 112.735 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(Niklaash @ Aug 16 2015, 12:42 AM) Solucion: Prolonguemos BA hasta P', de tal manera que AP'=AP, usando la hipotesis se tiene que el triangulo BP'C es isosceles en B, y BP es simetral de P'C, de esto, 2<P'CA=<P'PA=<AP'P, de donde por angulo exterior al triangulo APP', <BAP=2<AP'P, entonces <BAI=<AP'P, por otro lado como <ACB=<AP'P, se concluye por angulos exteriores que <AIP=API y estamos listekis Saludos! Esta como las ****, propone

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