Maratón Preolímpica - Foro fmat.cl

Portal Matemático

¿Qué es FMAT?

Foro fmat.cl > Sector Preparación Olimpiadas > Sector PreOlímpico > Otros > Problemas Propuestos

33 Páginas:

« < 28 29 30 31 32 > »

Reply to this topic

Start new topic

Maratón Preolímpica, orientada a las nuevas generaciones

Adrianocor Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 2 2015, 07:21 PM Publicado: #291
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 325 Registrado: 18-March 14 Miembro Nº: 127.725 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	verdad �� no leí veamos que p(k)=p(k+6) luego n=<6 y que p(k) es el inv mult de p(k+3) supongamos que parte con p(1)=x p(2)=y entonces los num serian: x, y, y/x, 1/x, 1/y, x/y para n=6 se tiene por ej 3,2,2/3,1/3,1/2,3/2 para n=5 deberi cumplirse (x)(1/x)=1/y , luego y=1, pero 1/y=1, contradiccion n=4 deberia cumplirse (x)(y/x)=1/x , contradiccion porque y=p(1) 1/x=p(4) para n=3 deberia cumplirse xy=y/x, con lo que x=1 (y=y/x, contrad) o -1 (y=-y -->y=0, contrad) luego solo surve n=6 Mensaje modificado por Adrianocor el Jul 2 2015, 07:34 PM

juancodmw Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 2 2015, 08:19 PM Publicado: #292
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 783 Registrado: 23-April 13 Desde: Constitución Miembro Nº: 118.027 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	dejo mi solución. Consideremos la colección de números reales distintos $TEX: $\lbrace a_{1}, a_{2}, a_{3},..., a_{n}\rbrace$$ , tal que se disponen en la circunferencia pedida, en orden, de acuerdo al índice, creciente. Para que lo pedido se cumpla, en la colección de números debe ocurrir que: $TEX: $a_{1}=a_{n}\cdot a_{2}$$ (1) $TEX: $a_{2}=a_{1}\cdot a_{3}$$ (2) $TEX: $a_{3}=a_{2}\cdot a_{4}$$ (3) $TEX: $a_{4}=a_{3}\cdot a_{5}$$ (4) $TEX: $\vdots$$ $TEX: $a_{n-1}=a_{n-2}\cdot a_{n}$$ (5) $TEX: $a_{n}=a_{n-1}\cdot a_{1}$$ (6) De (1) y (6) es fácil ver que $TEX: $a_{2}\cdot a_{n-1}=1$$ , además por (3) y (4) vemos que $TEX: $a_{2}\cdot a_{5}=1$$ , se sigue que $TEX: $a_{5}=a_{n-1}$$ , como tenemos la condición de que en la colección los números son distintos, se tiene directamente que esta igualdad se da si y solo si $TEX: $n=6$$ . En efecto, si se quiere solución al problema, el único valor que podría es $TEX: $n=6$$ . Probaremos que es válido para $TEX: $n=6$$ . $TEX: $a_{1}=a_{6}\cdot a_{2}$$ (1) $TEX: $a_{2}=a_{1}\cdot a_{3}$$ (2) $TEX: $a_{3}=a_{2}\cdot a_{4}$$ (3) $TEX: $a_{4}=a_{3}\cdot a_{5}$$ (4) $TEX: $a_{5}=a_{4}\cdot a_{6}$$ (5) $TEX: $a_{6}=a_{5}\cdot a_{1}$$ (6) Si multiplicamos dos a dos las ecuaciones se obtiene que $TEX: $a_{1}\cdot a_{4}=1$ ; $a_{2}\cdot a_{5}=1$; $a_{3}\cdot a_{6}=1$$ De donde se concluye que, como en la colección de numeros, estos eran distintos, se sigue que para nuestro problema, usando $TEX: $n=6$$ tambien se mantendría esta condición, como queríamos. --------------------

Niklaash Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 2 2015, 09:02 PM Publicado: #293
Doctor en Matemáticas Grupo: Colaborador Silver Mensajes: 193 Registrado: 17-August 12 Desde: Loncuma :3 Miembro Nº: 110.077 Nacionalidad: Sexo:	QUOTE(Adrianocor @ Jul 2 2015, 03:21 PM) verdad �� no leí veamos que p(k)=p(k+6) luego n=<6 y que p(k) es el inv mult de p(k+3) supongamos que parte con p(1)=x p(2)=y entonces los num serian: x, y, y/x, 1/x, 1/y, x/y para n=6 se tiene por ej 3,2,2/3,1/3,1/2,3/2 para n=5 deberi cumplirse (x)(1/x)=1/y , luego y=1, pero 1/y=1, contradiccion n=4 deberia cumplirse (x)(y/x)=1/x , contradiccion porque y=p(1) 1/x=p(4) para n=3 deberia cumplirse xy=y/x, con lo que x=1 (y=y/x, contrad) o -1 (y=-y -->y=0, contrad) luego solo surve n=6 No entiendo por que p(k)=p(k+6), aun asi el resultado esta bien, pero no entiendo tu procedimiento QUOTE(juancodmw @ Jul 2 2015, 04:19 PM) dejo mi solución. Consideremos la colección de números reales distintos $TEX: $\lbrace a_{1}, a_{2}, a_{3},..., a_{n}\rbrace$$ , tal que se disponen en la circunferencia pedida, en orden, de acuerdo al índice, creciente. Para que lo pedido se cumpla, en la colección de números debe ocurrir que: $TEX: $a_{1}=a_{n}\cdot a_{2}$$ (1) $TEX: $a_{2}=a_{1}\cdot a_{3}$$ (2) $TEX: $a_{3}=a_{2}\cdot a_{4}$$ (3) $TEX: $a_{4}=a_{3}\cdot a_{5}$$ (4) $TEX: $\vdots$$ $TEX: $a_{n-1}=a_{n-2}\cdot a_{n}$$ (5) $TEX: $a_{n}=a_{n-1}\cdot a_{1}$$ (6) De (1) y (6) es fácil ver que $TEX: $a_{2}\cdot a_{n-1}=1$$ , además por (3) y (4) vemos que $TEX: $a_{2}\cdot a_{5}=1$$ , se sigue que $TEX: $a_{5}=a_{n-1}$$ , como tenemos la condición de que en la colección los números son distintos, se tiene directamente que esta igualdad se da si y solo si $TEX: $n=6$$ . En efecto, si se quiere solución al problema, el único valor que podría es $TEX: $n=6$$ . Probaremos que es válido para $TEX: $n=6$$ . $TEX: $a_{1}=a_{6}\cdot a_{2}$$ (1) $TEX: $a_{2}=a_{1}\cdot a_{3}$$ (2) $TEX: $a_{3}=a_{2}\cdot a_{4}$$ (3) $TEX: $a_{4}=a_{3}\cdot a_{5}$$ (4) $TEX: $a_{5}=a_{4}\cdot a_{6}$$ (5) $TEX: $a_{6}=a_{5}\cdot a_{1}$$ (6) Si multiplicamos dos a dos las ecuaciones se obtiene que $TEX: $a_{1}\cdot a_{4}=1$ ; $a_{2}\cdot a_{5}=1$; $a_{3}\cdot a_{6}=1$$ De donde se concluye que, como en la colección de numeros, estos eran distintos, se sigue que para nuestro problema, usando $TEX: $n=6$$ tambien se mantendría esta condición, como queríamos. Correcto, aunque no estaria de mas colocar un ejemplo de que numeros tomar y como distribuirlos alrededor de la circunferencia, eso Que uno de los 2 proponga.. Saludos!

Adrianocor Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 2 2015, 10:29 PM Publicado: #294
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 325 Registrado: 18-March 14 Miembro Nº: 127.725 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(Niklaash @ Jul 2 2015, 11:02 PM) No entiendo por que p(k)=p(k+6) porque P(k+1)=P(k)P(k+2)=P(k)P(k+1)P(k+3) entonces 1=P(k)P(k+3) luego P(k+3) es el inverso multiplicativo de P(k), asi mismo, P(k+6) es el inverso multiplicativo de P(k+3), y como el inverso es único, P(k)=P(k+6)

Adrianocor Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 2 2015, 10:41 PM Publicado: #295
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 325 Registrado: 18-March 14 Miembro Nº: 127.725 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	En un grupo de n personas, cada dos de ellas son amigos o enemigos y cada una tiene exactamente 10 enemigos. Además se cumple la ley: «Los enemigos de mis amigos son mis enemigos». ¿Qué valores puede tener n?

vocin Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 19 2015, 04:10 AM Publicado: #296
Dios Matemático Supremo Grupo: Colaborador Silver Mensajes: 648 Registrado: 26-October 13 Desde: Tokyo-3 Miembro Nº: 123.749 Nacionalidad: Sexo:	Dato importante: Cada persona tiene 10 enemigos, y por tanto n-11 amigos Contemos las ternas $TEX: \( (A,B,C) \)$ , en donde A es enemigo de B, B enemigo de C, y C amigo de A. Podemos contar dichas ternas de dos maneras: -Eligiendo primero B (n maneras), podemos elegir A entre 10 personas, y C entre 9 (ya que ambos son enemigos de B). Esto son n109=90n -Eligiendo primero A (n maneras), podemos elegir C entre n-11 personas y B entre 10 (ya que B es enemigo de A y C amigo de éste. Esto nos da n10(n-11)=10n(n-11) Igualando, llegamos a que 90n=10n(n-11), o que n=20. Mensaje modificado por vocin el Jul 19 2015, 04:12 AM -------------------- Pro Tip: Es siempre recomendable saltarse los posts de Insanee/Legition I wish, that I could turn back time 'cos now the guilt is all mine can't live without the trust from those you love I know we can't forget the past you can't forget love & pride because of that, it's killing me inside

Adrianocor Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 19 2015, 05:17 PM Publicado: #297
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 325 Registrado: 18-March 14 Miembro Nº: 127.725 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	correcto propones

lzdawn Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 19 2015, 07:19 PM Publicado: #298
Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 40 Registrado: 22-September 10 Desde: Cozumel, Quintana Roo, Mexico. Miembro Nº: 77.496 Nacionalidad: Sexo:	Sólo como observación falta el caso n=11 y todos enemigos mutuos.

vocin Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 20 2015, 06:00 AM Publicado: #299
Dios Matemático Supremo Grupo: Colaborador Silver Mensajes: 648 Registrado: 26-October 13 Desde: Tokyo-3 Miembro Nº: 123.749 Nacionalidad: Sexo:	Ohhh verdá, pasé por alto completamente eso (para el que aún no se ha fijado, en mi solución se asume que tienen al menos un amigo). En un triángulo ABC <C=9°, <B=15°. D es un punto en el segmento BC tal que $TEX: \( \displaystyle \frac{DC}{DB}=\frac{\sqrt{5}-1}{2} \)$ . Pruebe que <ADC=84° -------------------- Pro Tip: Es siempre recomendable saltarse los posts de Insanee/Legition I wish, that I could turn back time 'cos now the guilt is all mine can't live without the trust from those you love I know we can't forget the past you can't forget love & pride because of that, it's killing me inside

vocin Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Aug 15 2015, 08:15 AM Publicado: #300
Dios Matemático Supremo Grupo: Colaborador Silver Mensajes: 648 Registrado: 26-October 13 Desde: Tokyo-3 Miembro Nº: 123.749 Nacionalidad: Sexo:	Tocará cambiar de problema, supongo. Si me acuerdo un día de estos subo mi solución. En esencia, lo que hice es partir que el ADC vale 84°, de ahí trabajar usando cosas conocidas para así calcular en qué razón divide. Etc... Problema (espero que no lo hayan colocado jajjaja): Calcular $TEX: \( \displaystyle \frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{2}{4}+\frac{3}{8}+\frac{5}{16}+\frac{8}{32}+\cdots \)$ Mensaje modificado por vocin el Aug 15 2015, 03:13 PM -------------------- Pro Tip: Es siempre recomendable saltarse los posts de Insanee/Legition I wish, that I could turn back time 'cos now the guilt is all mine can't live without the trust from those you love I know we can't forget the past you can't forget love & pride because of that, it's killing me inside

« Posterior · Problemas Propuestos · Anterior »

33 Páginas:

« < 28 29 30 31 32 > »

Reply to this topic

Start new topic

1 usuario(s) está(n) leyendo esta discusión (1 invitado(s) y 0 usuario(s) anónimo(s))

0 miembro(s):

Modo de Ver: Estándar · Cambiar a: Lineal+ · Cambiar a: Outline

Suscribirse · Enviar por correo · Imprimir · Suscribirse a este foro

Versión Lo-Fi

Fecha y Hora actual: 23rd November 2024 - 08:18 PM

Powered By IP.Board 2.2.1 © 2007 IPS, Inc.