Maratón Preolímpica - Foro fmat.cl

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Maratón Preolímpica, orientada a las nuevas generaciones

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juancodmw Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 1 2015, 05:33 PM Publicado: #281
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 783 Registrado: 23-April 13 Desde: Constitución Miembro Nº: 118.027 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	por trigonometría :$ sea $TEX: $2a=BC$$ y $TEX: $b=AB$$ , por teorema del seno se tiene que: $TEX: $\dfrac{2a}{b}=\dfrac{\sin{45}}{\sin{30}}\Longrightarrow \dfrac{b}{a}=\sqrt{2}$$ en el $TEX: $\triangle{ABD}$$ , sea $TEX: $\alpha$$ el ángulo pedido, aplicando teorema del seno: $TEX: $\dfrac{b}{a}=\dfrac{\sin{\alpha}}{\sin{(75-\alpha)}}=\sqrt{2}\Longrightarrow \sin{\alpha}=\sqrt{2}\sin{75}\cos{\alpha}-\sqrt{2}\cos{75}\sin{\alpha}$$ $TEX: $\Longrightarrow (1+\sqrt{2}\cos{75})\sin{\alpha}=\sqrt{2}\sin{75}\cos{\alpha}\Longrightarrow \tan{\alpha}=\dfrac{\sqrt{2}\sin{75}}{1+\sqrt{2}\cos{75}}$$ si trabajamos lo ultimo, se obtiene $TEX: $\tan{\alpha}=1$$ de donde se sigue que lo pedido es igual a 45°. --------------------

Tobal.alb Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 1 2015, 06:10 PM Publicado: #282
Maestro Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 133 Registrado: 9-June 15 Desde: Valporro - Puerto Ron Miembro Nº: 138.365 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	$TEX: Sea P el pie de la perpendicular desde B hacia AC y llamemos $2a=BC$. Notemos que $\triangle CBP$ es 30-60-90 $\Rightarrow BP=a$, dado que $BP=PA \Rightarrow AB=a\sqrt{2}$. Dado que: $\displaystyle \frac{2a}{a \sqrt{2}}=\displaystyle \frac{a \sqrt{2}}{a} \Leftrightarrow \displaystyle \frac{BC}{BA}=\displaystyle \frac{BA}{BM}$ por LAL tendremos que $\triangle DBA \sim \triangle ABC \Rightarrow \angle BDA=45º$.$ PD: juancoco Mensaje modificado por Tobal.alb el Jul 1 2015, 06:24 PM Archivo(s) Adjunto(s) asssssssssssssssssssss.png ( 19.13k ) Número de descargas: 2

juancodmw Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 1 2015, 08:12 PM Publicado: #283
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 783 Registrado: 23-April 13 Desde: Constitución Miembro Nº: 118.027 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	como se q está bien, y el vilches debe estar rumbo a tailandia, propongo. Prueba que si $TEX: $a + b = 1$$ , donde $TEX: $a$$ y $TEX: $b$$ son números positivos, entonces: $TEX: $\left(a+\dfrac{1}{a}\right)^{2}+\left(b+\dfrac{1}{b}\right)^{2}\geq \dfrac{25}{2}$$ --------------------

Tobal.alb Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 1 2015, 10:03 PM Publicado: #284
Maestro Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 133 Registrado: 9-June 15 Desde: Valporro - Puerto Ron Miembro Nº: 138.365 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	Notemos que: $TEX: $\displaystyle \frac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab} \Rightarrow \displaystyle \frac{1}{ab} \geq 4$$ Ahora como: $TEX: $(a+\displaystyle \frac{1}{a})^{2}+(b+\displaystyle \frac{1}{b})^2=a^{2}+b^{2}+\displaystyle \frac{1}{a^{2}}+\displaystyle \frac{1}{b^{2}}+4 (I)$$ Veamos que se tiene lo siguiente: $TEX: $(a^{2}+b^{2})(1+1) \geq (a+b)^{2} \Rightarrow a^{2}+b^{2} \geq \displaystyle \frac{1}{2}$$ $TEX: $\displaystyle \frac{1}{a^{2}}+\displaystyle \frac{1}{b^{2}} \geq 2 \displaystyle \frac{1}{ab} \geq 8$$ Uniendo estos resultados por $TEX: $(I)$$ $TEX: $a^{2}+b^{2}+\displaystyle \frac{1}{a^{2}}+\displaystyle \frac{1}{b^{2}}+4 \geq 4+8+\displaystyle \frac{1}{2}=\displaystyle \frac{25}{2}$$ de donde se sigue el resultado. edit: error de tipeo en $TEX: $(I)$$ no me deja modificar :c Mensaje modificado por Tobal.alb el Jul 1 2015, 10:05 PM

Tobal.alb Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 1 2015, 10:03 PM Publicado: #285
Maestro Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 133 Registrado: 9-June 15 Desde: Valporro - Puerto Ron Miembro Nº: 138.365 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	doble post Mensaje modificado por Tobal.alb el Jul 1 2015, 10:03 PM

Niklaash Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 2 2015, 12:04 AM Publicado: #286
Doctor en Matemáticas Grupo: Colaborador Silver Mensajes: 193 Registrado: 17-August 12 Desde: Loncuma :3 Miembro Nº: 110.077 Nacionalidad: Sexo:	Otra solucion Lo pedido es equivalente a probar que: $TEX: $\displaystyle a^2+\frac{1}{a^2}+b^2+\frac{1}{b^2} \geq \frac{17}{2}$$ Ahora, sea $TEX: $\displaystyle f(x)=x^2+\frac{1}{x^2}$$ , de aqui se tiene que $TEX: $f$$ es convexa, puesto que $TEX: $x^2$$ y $TEX: $\frac{1}{x^2}$$ son funciones convexas, entonces por desigualdad de Jensen y un poquito de algebrita $TEX: $\displaystyle \frac{1}{2}f(a)+\frac{1}{2}f(b) \geq f(\frac{a+b}{2}) = f(\frac{1}{2})=\frac{17}{4}$$ , y de aqui: $TEX: $\displaystyle (a^2 + \frac{1}{a^2}) + (b^2+\frac{1}{b^2}) \geq \frac{17}{2}$$ Que era lo que se pedia Saludos!!

juancodmw Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 2 2015, 11:45 AM Publicado: #287
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 783 Registrado: 23-April 13 Desde: Constitución Miembro Nº: 118.027 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	mi solución sea $TEX: $S=\left(a+\dfrac{1}{a}\right)^{2}+\left(b+\dfrac{1}{b}\right)^{2}$$ , por MC-MA $TEX: $\sqrt{\dfrac{S}{2}}\geq \dfrac{a+b+\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}}{2}\Longrightarrow \sqrt{S}\geq \dfrac{\sqrt{2}}{2}+\dfrac{\sqrt{2}}{2}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)$$ (i) por MA-MH: $TEX: $\dfrac{a+b}{2}\geq \dfrac{2}{\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}}\Longrightarrow \dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\geq 4\Longrightarrow \dfrac{\sqrt{2}}{2}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)\geq 2\sqrt{2}$$ (ii) sumando (i) y (ii) y elevando al cuadrado, estamos listocos. loyola y rivera, correctas las soluciones, el que llegue primero, proponga. --------------------

Niklaash Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 2 2015, 12:46 PM Publicado: #288
Doctor en Matemáticas Grupo: Colaborador Silver Mensajes: 193 Registrado: 17-August 12 Desde: Loncuma :3 Miembro Nº: 110.077 Nacionalidad: Sexo:	Se desea escribir n numeros reales diferentes, con n>2, alrededor de una circunferencia, de modo que cada uno de ellos sea igual al producto de sus vecinos (izquierda y derecha). Determine todos los n para los cuales es posible lo anterior. Mensaje modificado por Niklaash el Jul 2 2015, 12:47 PM

Adrianocor Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 2 2015, 05:12 PM Publicado: #289
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 325 Registrado: 18-March 14 Miembro Nº: 127.725 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(Niklaash @ Jul 2 2015, 02:46 PM) Se desea escribir n numeros reales diferentes, con n>2, alrededor de una circunferencia, de modo que cada uno de ellos sea igual al producto de sus vecinos (izquierda y derecha). Determine todos los n para los cuales es posible lo anterior. si llenamos la circunferencia con n ceros se tiene para todo n c:(lo mismo con 1's) y si hay un cero por consecuencia todos los demas numeros seran 0's. si enumeramos los puntos, para numeros distintos de cero se tiene p(k+1)=p(k)p(k+2)=p(k)p(k+1)p(k+3) puego p(k)=1/p(k+3)=p(k+6). (interpretando los numeros en modulo n) luego n=4t-1 con t entero para que se cumpla

Niklaash Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jul 2 2015, 06:29 PM Publicado: #290
Doctor en Matemáticas Grupo: Colaborador Silver Mensajes: 193 Registrado: 17-August 12 Desde: Loncuma :3 Miembro Nº: 110.077 Nacionalidad: Sexo:	QUOTE(Adrianocor @ Jul 2 2015, 01:12 PM) si llenamos la circunferencia con n ceros se tiene para todo n c:(lo mismo con 1's) y si hay un cero por consecuencia todos los demas numeros seran 0's. si enumeramos los puntos, para numeros distintos de cero se tiene p(k+1)=p(k)p(k+2)=p(k)p(k+1)p(k+3) puego p(k)=1/p(k+3)=p(k+6). (interpretando los numeros en modulo n) luego n=4t-1 con t entero para que se cumpla incorrecto, los numeros deben ser distintos entre si

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