Maratón Preolímpica - Foro fmat.cl

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Maratón Preolímpica, orientada a las nuevas generaciones

asdayuyi Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 11 2015, 08:33 PM Publicado: #261
Maestro Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 81 Registrado: 10-November 12 Miembro Nº: 112.735 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Razonemos por contradicción suponiendo que los 3 son cuadrados perfectos. Es claro que como a,b,c son positivos, entonces $TEX: $a^2+b+c>a^2$$ . Veamos que si esa expresión es un cuadrado es imposible que $TEX: $(a+1)^2>a^2+b+c>a^2$$ ya que dicho cuadrado se encontraría entre dos cuadrados consecutivos, luego $TEX: $(a+1)^2\leq a^2+b+c$$ de donde $TEX: $2a+1\leq b+c$$ y de manera analoga con las otras dos expresiones se tiene que $TEX: $2b+1\leq a+c$$ y $TEX: $2c+1\leq b+a$$ . Sumando las tres desigualdades obtenemos $TEX: $3\leq 0$$ contradicción

lapantufla Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 12 2015, 12:59 PM Publicado: #262
Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 52 Registrado: 5-December 12 Miembro Nº: 114.123 Nacionalidad: Sexo:	Correcto! era el problema 1 de la APMO del 2011 Propones.

juancodmw Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 21 2015, 11:08 AM Publicado: #263
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 783 Registrado: 23-April 13 Desde: Constitución Miembro Nº: 118.027 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	hay que revivir esto. Sean $TEX: $E$$ y $TEX: $F$$ los puntos de tangencia del incírculo del triángulo $TEX: $ABC$$ con los lados $TEX: $AB$$ y $TEX: $BC$$ , respectivamente. La bisectriz del ángulo $TEX: $CAB$$ intersecta a la recta $TEX: $EF$$ en $TEX: $K$$ . Pruebe que el ángulo $TEX: $CKA$$ es recto. --------------------

Niklaash Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 21 2015, 01:11 PM Publicado: #264
Doctor en Matemáticas Grupo: Colaborador Silver Mensajes: 193 Registrado: 17-August 12 Desde: Loncuma :3 Miembro Nº: 110.077 Nacionalidad: Sexo:	Solucion: Como AK es bisectriz, se sigue que el incentro I esta sobre esta recta, tracemos IF y CK, probaremos que el cuadrilatero IFKC es ciclico, osea que <ICF=<IKF Sean, 2a=<A, 2b=<B y 2c=<C (los angulos interiores del triangulo), ahora como el triangulo BEF es isosceles en B, puesto que BE y BF son tangentes a la circunferencia inscrita, de aqui se sigue que <BEK=<EFB=a+b, y por angulo exterior al triangulo AKE, se sigue que AKE=b, de donde se concluye lo pedido. Saludos!

juancodmw Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 21 2015, 01:14 PM Publicado: #265
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 783 Registrado: 23-April 13 Desde: Constitución Miembro Nº: 118.027 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	CITA(Niklaash @ Jun 21 2015, 01:11 PM) Solucion: Como AK es bisectriz, se sigue que el incentro I esta sobre esta recta, tracemos IF y CK, probaremos que el cuadrilatero IFKC es ciclico, osea que <ICF=<IKF Sean, 2a=<A, 2b=<B y 2c=<C (los angulos interiores del triangulo), ahora como el triangulo BEF es isosceles en B, puesto que BE y BF son tangentes a la circunferencia inscrita, de aqui se sigue que <BEK=<EFB=a+b, y por angulo exterior al triangulo AKE, se sigue que AKE=b, de donde se concluye lo pedido. Saludos! wenaa brother, correcto, proponga. --------------------

Niklaash Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 21 2015, 01:23 PM Publicado: #266
Doctor en Matemáticas Grupo: Colaborador Silver Mensajes: 193 Registrado: 17-August 12 Desde: Loncuma :3 Miembro Nº: 110.077 Nacionalidad: Sexo:	Pruebe que para todo $TEX: $m \in \mathbb{Z^+}$$ se tiene que $TEX: $3^m \geq m^3$$

pprimo Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 21 2015, 08:22 PM Publicado: #267
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 817 Registrado: 21-February 14 Miembro Nº: 127.064	hola sin animos de desvirtuar el tema, esto creo que lo resolvio pasten en su momento (3^pi o pi^3 que numero es mayor, algo asi xD) esta en el foro

Niklaash Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 21 2015, 08:40 PM Publicado: #268
Doctor en Matemáticas Grupo: Colaborador Silver Mensajes: 193 Registrado: 17-August 12 Desde: Loncuma :3 Miembro Nº: 110.077 Nacionalidad: Sexo:	Ni idea, este problema forma parte de la solucion de un problema mas grande...

Kreator Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 24 2015, 06:27 PM Publicado: #269
Dios Matemático Grupo: Super Moderador Mensajes: 261 Registrado: 12-February 11 Miembro Nº: 83.790 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Creo que está bueno Usaremos inducción. $TEX: <br /><br />Los casos $m= 1$ y $m=2$ son triviales<br /><br />Para $m= k$, asumimos $3^k\ge m^3$<br /><br />Queremos probar que $3^{k+1}\ge (k+1)^3$.<br />De la hipótesis notamos que $3^{k+1}\ge 3k^3$<br /><br />Luego, nos gustaría probar que $3k^3\ge (k+1)^3$, para todo $k$\\<br /><br />Dividiendo por $k^3$ y sacando raíz cubica (se puede, el lector debe justificar por qué), obtenemos que es equivalente a probar que:<br /><br />$ \sqrt[3]{3}\ge (1+\dfrac{1}{k})$<br /><br />Esto último es correcto, ya que <br /><br />$\sqrt[3]{3}\ge 1.44 \ge (1+\dfrac{1}{3})$<br /><br />Como $(1+\dfrac{1}{k})\le (1+\dfrac{1}{3})\le 1.4$ para todo $k\ge 3$, (ya que la función $\dfrac{1}{k}$ es decreciente), se tiene que, <br /><br />$(1+\dfrac{1}{k})\le \sqrt[3]{3}$, que es equivalente a lo que queríamos probar, terminando el problema<br /><br />$ --------------------

Niklaash Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Jun 25 2015, 07:28 PM Publicado: #270
Doctor en Matemáticas Grupo: Colaborador Silver Mensajes: 193 Registrado: 17-August 12 Desde: Loncuma :3 Miembro Nº: 110.077 Nacionalidad: Sexo:	Corresto, proponga

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