Maratón Preolímpica, orientada a las nuevas generaciones Opciones

[einstenio16]

Sea un número primo impar. Sea un entero positivo tal que también es un entero positivo. Encuentre el valor de en función de .

Saludos!

[CnstMot]

Quiero participar :c no sé si esté bien xD me la juego:

Malo

Si ,

Luego

Notemos que esto es cierto si . Si , necesariamente .

Si , como , por lo tanto , lo que implica que , pero es primo.

Por lo tanto

I tried xD si nadie lo ha respondido hasta mañana lo intentaré de nuevo, seguiré estudiando para la prueba de electro de mañana :c

Mensaje modificado por CnstMot el May 3 2015, 10:24 PM

[einstenio16]

Lamento decir que está incorrecto... Ibas bien hasta el segundo paso... seguimos con el problema.

[Seba²]

Sea d=mcd(a,b). Notemos que d|k y d|k-p, entocnes d|p, de donde d=1 o p.

Si d=1, entonces tanto k como k-p debe ser cuadrado perfecto, es decir, si k=l^2 y k-p=r^2, tenemos que p=(l+r)(l-r), con l,r no negativos. Como l+r es no negativo y es mayor que l-r, se sigue que l+r=p y l-r=1, de donde l=(p+1)/2, y se sigue que k=((p+1)/2)^2 .

Si d=p, entonces p|k, de donde si k=ps, se sigue que s(s-1) debe ser cuadrado, y eso solo pasa si s=1(s y s-1 son coprimos), es decir k=p, pero ahi queda que la raiz es 0, y debe ser entera positiva.

Luego k=((p+1)/2)^2 .

Saludos.

[einstenio16]

Está correctísimo... Felicitaciones!

Lo que sí, quedaría mejor en LaTeX...

Te toca proponer...

[Seba²]

Dado un triángulo ABC cualquiera, construya con regla y compás un triángulo equilátero tal que sus 3 vértices esten en cada uno de sus lados y un lado sea paralelo a uno de los lados del triángulo ABC.

[lapantufla]

Sin perdida de generalidad sea BC el segmento opuesto al ángulo mayor, usando el compás dos veces ubicamos un punto P en el semiplano que no contiene al triangulo tal que BPC es equilatero.
Usando la regla construimos el punto X como la intersección de AP con BC y por una construcción básica podemos trazar las paralelas a los segmentos PB y PC pasando por el punto X las cuales intersectan a los lados AB y AC en los puntos Y y Z respectivamente.
Luego como el triangulo XYZ es homotético con respecto a A al triangulo PBC concluimos que es equilátero y que BC es paralelo a YZ, por lo que este triángulo cumple todo lo pedido.

[einstenio16]

Esperamos el visto bueno de Seba².


Mensaje modificado por einstenio16 el May 10 2015, 10:27 PM

[einstenio16]

Bien, hace 6 días que está la solución de lapantufla y para que el post no muera, lapantufla te toca proponer.

[lapantufla]

Problema: Pruebe que si son enteros positivos entonces es imposible que , y sean simultáneamente un cuadrado perfecto.