Maratón Preolímpica - Foro fmat.cl

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Maratón Preolímpica, orientada a las nuevas generaciones

Opciones

juancodmw Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Apr 13 2015, 04:51 PM Publicado: #241
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 783 Registrado: 23-April 13 Desde: Constitución Miembro Nº: 118.027 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	1,1,1,1,1,1,1.... xddd aritmética, razón 0, armonica, por lo mismo y finalmente geométrica, razón 1. --------------------

alonc Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Apr 15 2015, 05:01 PM Publicado: #242
Maestro Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 76 Registrado: 31-May 14 Desde: mi casa Miembro Nº: 129.894 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	Jajaja xd buena propon (Srri por la inacrividad :,( CITA colegio qlo

juancodmw Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Apr 15 2015, 05:35 PM Publicado: #243
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 783 Registrado: 23-April 13 Desde: Constitución Miembro Nº: 118.027 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	En un triángulo $TEX: $ABC$$ , con incentro $TEX: $I$$ y circunferencia circunscrita $TEX: $K$$ , la bisectriz del ángulo $TEX: $\angle{ABC}$$ intersecta a $TEX: $K$$ en el punto $TEX: $M$$ . Además, llamamos $TEX: $D$$ al punto de intersección de la bisectriz del ángulo $TEX: $\angle{ABC}$$ con la bisectriz exterior del ángulo $TEX: $\angle{BAC}$$ . Pruebe que $TEX: $M$$ es el centro de la circunferencia circunscrita al triángulo $TEX: $AID$$ . --------------------

Niklaash Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Apr 28 2015, 06:38 PM Publicado: #244
Doctor en Matemáticas Grupo: Colaborador Silver Mensajes: 193 Registrado: 17-August 12 Desde: Loncuma :3 Miembro Nº: 110.077 Nacionalidad: Sexo:	No creo que es lo que se espere pero igual Sean 2a, 2b y 2c los angulos BAC, CBA y ACB respectivamente, de esto a+b+c=90, ahora, como el cuadrilatero ABCM es ciclico es facil ver que <CAM=<MCA=b, luego AM=CM. Por otro lado, si trazamos CD, es sabido que este segmento tambien es bisectriz, y corresponde a la bisectriz exterior del <ACB, y en consecuencia, el cuadrilatero AICD es ciclico, pues <ICD=<IAD=90, de esto ultimo se sigue que <MAD=c y ademas por la ciclicidad de ICDA <ADI=c => MA=MD, y de esto se concluye que el punto M equidista de los vertices I,A y D y corresponde al circuncentro de este triangulo. PD: si necesitan mas detalles me dicen, la escribi un poco apurado Aprovecho de proponer d1: Encuentre las funciones $TEX: $f:R-\{ 0\} \rightarrow R$$ que satisfacen la siguiente ecuacion: $TEX: $xf(x)+2xf(-x)=-1$$ , para x distinto de 0 Saludos!! Mensaje modificado por Niklaash el Apr 28 2015, 06:47 PM

Ditoow Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Apr 28 2015, 07:58 PM Publicado: #245
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 579 Registrado: 17-April 11 Miembro Nº: 87.233 Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Del propuesto de Niklaash: $TEX: $xf(x)+2xf(-x)=-1, x \neq 0 $$ De aquí tenemos lo siguiente: $TEX: $\left.\begin{matrix}<br />xf(x)+2xf(-x)=-1 & \\ <br />-xf(-x)-2xf(x)=-1 & <br />\end{matrix}\right\}$$ Sumando ambas ecuaciones: $TEX: $xf(-x)-xf(x)=-2$$ $TEX: $f(-x)=f(x)-\dfrac{2}{x}$$ () Ahora restando ambas ecuaciones: $TEX: $3xf(x)+3xf(-x)=0$$ $TEX: $f(x)+f(-x)=0$$ (*) Reemplazando: $TEX: $f(x)+f(x)-\dfrac{2}{x}=0$$ $TEX: $\therefore \ f(x)=\dfrac{1}{x}$$ Un poco desordenado, espero esté bien! Saludos

MysticMan Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Apr 28 2015, 08:00 PM Publicado: #246
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 550 Registrado: 24-July 11 Desde: Chillán Miembro Nº: 92.177 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: Reemplazando $x$ por $-x$ tenemos que $xf(-x) + 2xf(x) = 1$ de donde $2xf(-x) = 2 - 4xf(x)$. Reemplazando en la ecuación original tenemos que $xf(x) + 2 - 4xf(x) = -1$, de donde $\displaystyle f(x) = \frac{1}{x}$, pues $x \neq 0$.$ Saludos. -------------------- $TEX: $$1782^{12}+1841^{12}=1922^{12}$$$

Niklaash Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Apr 30 2015, 07:51 PM Publicado: #247
Doctor en Matemáticas Grupo: Colaborador Silver Mensajes: 193 Registrado: 17-August 12 Desde: Loncuma :3 Miembro Nº: 110.077 Nacionalidad: Sexo:	ambas estan correctas, propon ditow

Ditoow Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 2 2015, 04:10 PM Publicado: #248
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 579 Registrado: 17-April 11 Miembro Nº: 87.233 Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Si se verifica que $TEX: $\alpha +\beta +\gamma =\pi,$$ entonces demuestre que $TEX: $cos(\alpha)+cos(\beta)+cos(\gamma)=1+4sen\left ( \dfrac{\alpha }{2} \right )sen\left ( \dfrac{\beta }{2} \right )sen\left ( \dfrac{\gamma }{2} \right ).$$ Saludos pd1:Sorry la demora :l pd2: Mensaje modificado por Ditoow el May 2 2015, 06:58 PM

einstenio16 Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 3 2015, 02:35 PM Publicado: #249
Dios Matemático Grupo: Team Ensayos FMAT Mensajes: 274 Registrado: 30-December 09 Miembro Nº: 64.740 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	Como $TEX: $\alpha+\beta+\gamma=\pi$$ , entonces $TEX: $\gamma=\pi-(\alpha+\beta)$$ . Luego: $TEX: \[\begin{array}{{20}{c}}<br />{\cos \alpha + \cos \beta + \cos \gamma }& = &{\cos \alpha + \cos \beta - \cos \left( {\alpha + \beta } \right)}\\<br />{}& = &{\cos \alpha + \cos \beta - \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta }\\<br />{}& = &{2\cos \alpha \left( {\frac{{1 - \cos \beta }}{2}} \right) + \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta }\\<br />{}& = &{2\cos \alpha {{\sin }^2}\frac{\beta }{2} + \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta }\\<br />{}& = &{2\cos \alpha {{\sin }^2}\frac{\beta }{2} + 1 - 2{{\sin }^2}\frac{\beta }{2} + \sin \alpha \sin \beta }\\<br />{}& = &{4{{\sin }^2}\frac{\beta }{2}\left( {\frac{{\cos \alpha - 1}}{2}} \right) + 1 + \sin \alpha \sin \beta }\\<br />{}& = &{ - 4{{\sin }^2}\frac{\beta }{2}{{\sin }^2}\frac{\alpha }{2} + 1 + 4\sin \frac{\alpha }{2}\sin \frac{\beta }{2}\cos \frac{\alpha }{2}\cos \frac{\beta }{2}}\\<br />{}& = &{4\sin \frac{\alpha }{2}\sin \frac{\beta }{2}\left( {\cos \frac{\alpha }{2}\cos \frac{\beta }{2} - \sin \frac{\alpha }{2}\sin \frac{\beta }{2}} \right) + 1}\\<br />{}& = &{4\sin \frac{\alpha }{2}\sin \frac{\beta }{2}\cos \frac{{\alpha + \beta }}{2} + 1}\\<br />{}& = &{4\sin \frac{\alpha }{2}\sin \frac{\beta }{2}\cos \frac{{\pi - \gamma }}{2} + 1}\\<br />{}& = &{4\sin \frac{\alpha }{2}\sin \frac{\beta }{2}\sin \frac{\gamma }{2} + 1}\\<br />{}&{}&{}\\<br />{}&{}&{}<br />\end{array}\]$ Saludos! -------------------- Estudiante de Ingeniería Matemática USACH* No... ya no He vuelto con las pilas cargaditas!!! Cursillo de Trigonometría y Geometría Analítica

Ditoow Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	May 3 2015, 02:51 PM Publicado: #250
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 579 Registrado: 17-April 11 Miembro Nº: 87.233 Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Correcto, nada que decir! Propón einstenio

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