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Maratón Preolímpica, orientada a las nuevas generaciones

pprimo Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Mar 9 2015, 12:25 AM Publicado: #231
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 817 Registrado: 21-February 14 Miembro Nº: 127.064	$TEX: $$n=\sqrt{265}$$$ tambien cumple pero no es natural :c otra forma de verlo, racionalizando $TEX: $$\sqrt{n^{2}+24}-\sqrt{n^{2}-9}=\frac{33}{\sqrt{n^{2}+24}+\sqrt{n^{2}-9}}$$$ es facil notar que el denominador debe ser igual a 1, 3, 11, 33 para que el cuociente sea entero, entonces (el unico caso que sirve es igual a 11) $TEX: $$\sqrt{n^{2}+24}+\sqrt{n^{2}-9}=11$$$ de donde se desprende $TEX: $$n=\pm \sqrt{\left( \frac{121-24-9}{22} \right)^{2}+9}=\pm 5$$$ Mensaje modificado por pprimo el Mar 9 2015, 12:25 AM

juancodmw Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Mar 9 2015, 05:16 PM Publicado: #232
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 783 Registrado: 23-April 13 Desde: Constitución Miembro Nº: 118.027 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	disculpen la demora (colegio ql) En un rectángulo $TEX: $ABCD$$ se ubica el punto $TEX: $E$$ en $TEX: $AD$$ de manera que $TEX: $\angle{CED}=3\angle{BEA}$$ y $TEX: $BE-EC = 2AB$$ . Halla $TEX: $\angle{BEC}$$ . es bien fácil pero es lo único q tengo a mano ahora. saludos --------------------

juancodmw Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Mar 11 2015, 09:29 PM Publicado: #233
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 783 Registrado: 23-April 13 Desde: Constitución Miembro Nº: 118.027 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	el hint de rigor: semejanzas, no se si valga la pena ocupar trigo. --------------------

juancodmw Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Apr 5 2015, 09:17 PM Publicado: #234
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 783 Registrado: 23-April 13 Desde: Constitución Miembro Nº: 118.027 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	UP si ud. lo pide, lo cambio --------------------

Ledox Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Apr 6 2015, 07:04 PM Publicado: #235
Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 37 Registrado: 10-March 08 Miembro Nº: 16.563 Nacionalidad: Sexo:	$TEX: \psscalebox{1.3 1.3} {\begin{pspicture}(0,-3.1482823)(7.9785542,3.1482823)<br />\psline[linecolor=black, linewidth=0.04](1.9741936,-2.8120184)(7.5741935,-2.8120184)(7.5741935,-0.4120185)(1.9741936,-2.8120184)(3.1741936,-0.4120185)(3.1741936,-2.8120184)(3.1741936,-2.8120184)<br />\psline[linecolor=black, linewidth=0.04](1.9741936,-2.8120184)(4.774194,2.7879815)(7.5741935,-0.4120185)(7.5741935,-0.4120185)<br />\psline[linecolor=black, linewidth=0.04](1.9884793,-2.8120184)(6.2170506,1.1308386)(6.2170506,1.1308386)<br />\psline[linecolor=black, linewidth=0.04](3.1599078,-0.38344708)(7.559908,-0.4120185)(7.5456223,-0.4120185)<br />\rput[bl](1.6445233,-3.1482823){E}<br />\rput[bl](2.9599078,-0.14058994){B'}<br />\rput[bl](7.6741934,-0.4195373){C}<br />\rput[bl](7.7185545,-2.884199){D}<br />\rput[bl](3.1884792,-3.14059){A'}<br />\rput[bl](4.8365993,2.9082823){P}<br />\rput[bl](6.322314,1.2120416){Q}<br />\rput[bl](2.5320883,-2.4435976){$\small \alpha$}<br />\rput[bl](2.7110357,-2.7383342){$\small \alpha$}<br />\rput[bl](2.426825,-2.0857027){$\small \alpha$}<br />\psline[linecolor=black, linewidth=0.04](3.2,-0.38621205)(0.36129034,-0.38621205)(0.36129034,-2.7991152)(1.9741936,-2.8120184)<br />\psline[linecolor=black, linewidth=0.04](0.36129034,-0.3991153)(1.9612904,-2.8120184)(1.9870968,-2.8120184)<br />\rput[bl](0.103225805,-3.0829864){A}<br />\rput[bl](0.0,-0.33459917){B}<br />\end{pspicture}}$ $TEX: Refleje el triángulo $BAE$ con respecto a una recta perpendicular a $AD$ que pasa por $E$. Sean $B'$ y $A'$ la reflexiones de $B$ y $A$ respectivamente. Ubique $P$ de tal forma que $E$, $B'$ y $P$ esten alineados y $PEC$ sea isósceles de base $PC$. Ocurren dos cosas: Si $Q$ es el punto medio de $PC$, entonces $EQC$ es congruente con $EDC$ y también con $EQP$, y entonces el triángulo $B'PC$ es isósceles de base $B'C$. Como $\angle ECB = \angle DEC$, tenemos $\angle B'CP=\angle CB'P=90^{\circ}-2\angle ECB$ y entonces $\angle B'PC=90^{\circ}-\angle ECB=4\angle ECB \Rightarrow \angle ECB=18^{\circ}$, luego $\angle BEC =180^{\circ}-4\angle ECB=108^{\circ}$$ Mensaje modificado por Ledox el Apr 6 2015, 07:37 PM

juancodmw Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Apr 6 2015, 07:44 PM Publicado: #236
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 783 Registrado: 23-April 13 Desde: Constitución Miembro Nº: 118.027 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	CITA(Ledox @ Apr 6 2015, 07:04 PM) $TEX: \psscalebox{1.3 1.3} {\begin{pspicture}(0,-3.1482823)(7.9785542,3.1482823)<br />\psline[linecolor=black, linewidth=0.04](1.9741936,-2.8120184)(7.5741935,-2.8120184)(7.5741935,-0.4120185)(1.9741936,-2.8120184)(3.1741936,-0.4120185)(3.1741936,-2.8120184)(3.1741936,-2.8120184)<br />\psline[linecolor=black, linewidth=0.04](1.9741936,-2.8120184)(4.774194,2.7879815)(7.5741935,-0.4120185)(7.5741935,-0.4120185)<br />\psline[linecolor=black, linewidth=0.04](1.9884793,-2.8120184)(6.2170506,1.1308386)(6.2170506,1.1308386)<br />\psline[linecolor=black, linewidth=0.04](3.1599078,-0.38344708)(7.559908,-0.4120185)(7.5456223,-0.4120185)<br />\rput[bl](1.6445233,-3.1482823){E}<br />\rput[bl](2.9599078,-0.14058994){B'}<br />\rput[bl](7.6741934,-0.4195373){C}<br />\rput[bl](7.7185545,-2.884199){D}<br />\rput[bl](3.1884792,-3.14059){A'}<br />\rput[bl](4.8365993,2.9082823){P}<br />\rput[bl](6.322314,1.2120416){Q}<br />\rput[bl](2.5320883,-2.4435976){$\small \alpha$}<br />\rput[bl](2.7110357,-2.7383342){$\small \alpha$}<br />\rput[bl](2.426825,-2.0857027){$\small \alpha$}<br />\psline[linecolor=black, linewidth=0.04](3.2,-0.38621205)(0.36129034,-0.38621205)(0.36129034,-2.7991152)(1.9741936,-2.8120184)<br />\psline[linecolor=black, linewidth=0.04](0.36129034,-0.3991153)(1.9612904,-2.8120184)(1.9870968,-2.8120184)<br />\rput[bl](0.103225805,-3.0829864){A}<br />\rput[bl](0.0,-0.33459917){B}<br />\end{pspicture}}$ $TEX: Refleje el triángulo $BAE$ con respecto a una recta perpendicular a $AD$ que pasa por $E$. Sean $B'$ y $A'$ la reflexiones de $B$ y $A$ respectivamente. Ubique $P$ de tal forma que $E$, $B'$ y $P$ esten alineados y $PEC$ sea isósceles de base $PC$. Ocurren dos cosas: Si $Q$ es el punto medio de $PC$, entonces $EQC$ es congruente con $EDC$ y también con $EQP$, y entonces el triángulo $B'PC$ es isósceles de base $B'C$. Como $\angle ECB = \angle DEC$, tenemos $\angle B'CP=\angle CB'P=90^{\circ}-2\angle ECB$ y entonces $\angle B'PC=90^{\circ}-\angle ECB=4\angle ECB \Rightarrow \angle ECB=18^{\circ}$, luego $\angle BEC =180^{\circ}-4\angle BEC=108^{\circ}$$ está correcto, propone (ahí dps subo mi solución). --------------------

Ledox Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Apr 6 2015, 08:03 PM Publicado: #237
Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 37 Registrado: 10-March 08 Miembro Nº: 16.563 Nacionalidad: Sexo:	$TEX: \noindent $(a,b,c,d,e,f)$ es una permutación de $(1,2,3,4,5,6)$. Si $M$ es el producto de $a$, $b$ y $c$, y $N$ es el producto de $d$, $e$ y $f$, hallar el menor valor que puede tomar $M+N$$

alonc Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Apr 11 2015, 10:09 AM Publicado: #238
Maestro Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 76 Registrado: 31-May 14 Desde: mi casa Miembro Nº: 129.894 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	CITA http://www.fmat.cl/tex-image/c04cfad8b4137...79cbd4afb42.png por $TEX: $MA \geq MG$$ tenemos que: $TEX: $\frac{M + N}{2}\geq\sqrt{MN}$$ remplazando $TEX: $MN=6!$$ y multiplicando por 2 obtenemos $TEX: $M + N\geq2\sqrt{65432}=53,665...$$ y como M + N es entero el minimo valor seria 54 que se daria mientras mas parecido sean $TEX: $M$$ y $TEX: $N ((23)51+234=54)$$ media chacra la respuesta me parece que debe aber algo mas creativo o simpatico...

Ledox Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Apr 12 2015, 05:29 PM Publicado: #239
Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 37 Registrado: 10-March 08 Miembro Nº: 16.563 Nacionalidad: Sexo:	CITA(alonc @ Apr 11 2015, 10:09 AM) por $TEX: $MA \geq MG$$ tenemos que: $TEX: $\frac{M + N}{2}\geq\sqrt{MN}$$ remplazando $TEX: $MN=6!$$ y multiplicando por 2 obtenemos $TEX: $M + N\geq2\sqrt{65432}=53,665...$$ y como M + N es entero el minimo valor seria 54 que se daria mientras mas parecido sean $TEX: $M$$ y $TEX: $N ((23)51+234=54)$$ media chacra la respuesta me parece que debe aber algo mas creativo o simpatico... Correcto, proponga.

alonc Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Apr 13 2015, 04:30 PM Publicado: #240
Maestro Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 76 Registrado: 31-May 14 Desde: mi casa Miembro Nº: 129.894 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Sexo:	Encuentre una progresion que sea harmonia aritmeti a y geometrica a la vez ¡ CONTENIDO OCULTO BLOQUEADO ! Identifícate o Registrate para desbloquearlo.

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