Maratón Preolímpica, orientada a las nuevas generaciones Opciones

[nosenadapsu]

Consideremos la construcción del dibujo. El problema es equivalente a minimizar la suma de los segmentos (con E' reflejo de E). Claramente el mínimo se da cuando los puntos son colineales. Por proporciones . Observación, esto también incluye los casos en que pueda ser negativo.

si el problema no es resuelto en 1 día, el usuario debe dar un hint

[asdayuyi]

Veamos que para n=1 y 2 la suma no es un entero, entonces desde ahora . Por el postulado de Bertrand sabemos que existe un primo p tal que .

Lema: El p de la afirmacion anterior no divide a ningún natural entre 1 y n a excepción de p.
Demostración: Supongamos que existe un natural entre 1 y n tal que este sea divisible por p. Este debe ser de la forma con . Luego podemos escribir , con r un natural, como entonces de donde , luego r=1, de donde , es decir el múltiplo de p buscado es el mismo p, contradiciendo el enunciado.

Veamos que , con q el entero que representa al numerador de la fracción resultante de sumar todas esas fracciones. De esto tenemos que



Por el lema, tenemos que el mcd entre p y el denominador de la fracción anterior es 1, luego si la suma S es un entero tenemos p divide a 1, lo que es una contradicción.

Saludines a los mas lindos

[ElViejoDelSaco]

Correcto, propones bombón, saludos.

[asdayuyi]

Sea ABC un triangulo rectángulo en A, y sea C1 su circuncirculo. Un punto E vive en el arco BC que no contiene a A y satisface que AE>CE. Sea F un punto en el rayo EC con <EAC=<CAF y sea D el punto de intersección de BF con C1, si O es el circuncentro del triangulo FDE, pruebe que A,C,O viven en una misma recta.

[ElViejoDelSaco]

Tenemos que de donde (en esto usamos que es el circuncentro del triangulo para calcular en función de ), luego y por tanto es cíclico, luego como (basta calcularlo) y además por el cíclico de donde concluimos que y de esto tenemos que , y son colineales.

Mensaje modificado por ElViejoDelSaco el Mar 7 2015, 09:37 PM

[Heiricar]

Solución correcta en representación de asdyuyi.

[nagernager]

Respondo un msj viejo, no he tenido mucho tiempo.


Cenisas con mostaza : Si, solo me atreví a publicar el problema, ya que me parecía bastante accesible, y amerita en el tipo de foro, y si , mi repertorio es un poquito mas amplio.

Creo que ya se quien sos, tu eras spain 2 en holanda ?

Saludos, estimado

Mensaje modificado por nagernager el Mar 7 2015, 11:42 PM

[ElViejoDelSaco]

Que vuelva a tener actividad esto.

Problema: Encuentre todos los tales que es un número entero.

[juancodmw]

es fácil ver que para que la expresión mostrada sea entera, ambos sumandos deben ser enteros también, por tanto y deben ser cuadrados perfectos como se muestra con e :





restamos:



de esto último vemos que los factores pueden tomar los valores de (1,33) y (3,11) (obviamente hay más, que corresponden a las permutaciones de los pares, pero se obtiene lo mismos valores solo que varía el signo), para el primer caso obtenemos e , de donde es irracional, por tanto no nos sirve. para el 2do caso, obtenemos e , de donde se obtiene y serían los valores de que cumplen lo pedido.

[ElViejoDelSaco]

Correcto, puedes proponer