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Maratón Preolímpica, orientada a las nuevas generaciones

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vocin Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Feb 16 2015, 03:08 PM Publicado: #201
Dios Matemático Supremo Grupo: Colaborador Silver Mensajes: 648 Registrado: 26-October 13 Desde: Tokyo-3 Miembro Nº: 123.749 Nacionalidad: Sexo:	CITA(Adrianocor @ Feb 16 2015, 04:07 PM) Estas seguro que el ángulo que vale x no es el CBA?? Siiii, sorry Ya me parecía extraño que nadie hubiese hecho el P1 -------------------- Pro Tip: Es siempre recomendable saltarse los posts de Insanee/Legition I wish, that I could turn back time 'cos now the guilt is all mine can't live without the trust from those you love I know we can't forget the past you can't forget love & pride because of that, it's killing me inside

Adrianocor Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Feb 16 2015, 04:08 PM Publicado: #202
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 325 Registrado: 18-March 14 Miembro Nº: 127.725 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	CITA(vocin @ Feb 16 2015, 03:08 PM) Siiii, sorry Ya me parecía extraño que nadie hubiese hecho el P1 edite el post anterior

pprimo Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Feb 16 2015, 04:13 PM Publicado: #203
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 817 Registrado: 21-February 14 Miembro Nº: 127.064	CITA(juancodmw @ Jan 18 2015, 04:47 PM) en vista de q ha pasado mucho tiempo, cambiaré el problema por algo más simple y para que esto siga avanzando.... Si $TEX: $a$$ , $TEX: $b$$ , $TEX: $c$$ son cantidades positivas, demuestre que: $TEX: $\dfrac{a^{2}+b^{2}}{a+b}+\dfrac{b^{2}+c^{2}}{b+c}+\dfrac{a^{2}+c^{2}}{a+c}\geqslant a+b+c$$ No es dificil ver que $TEX: $$\sum\limits_{cyc}{\left( \frac{\left( a+b \right)^{2}-2ab}{a+b} \right)}=\sum\limits_{cyc}{\left( a+b-\frac{2ab}{a+b} \right)}\ge a+b+c$$$ en otros terminos es lo mismo que probar que $TEX: $$a+b+c\ge \frac{2ab}{a+b}+\frac{2bc}{b+c}+\frac{2ca}{c+a}$$$ lo cual es evidente que $TEX: $$\left( a+b-\frac{4ab}{a+b} \right)+\left( b+c-\frac{4bc}{b+c} \right)+\left( c+a-\frac{4ca}{c+a} \right)=\frac{\left( a-b \right)^{2}}{a+b}+\frac{\left( b-c \right)^{2}}{b+c}+\frac{\left( c-a \right)^{2}}{c+a}\ge 0$$$

vocin Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Feb 16 2015, 04:25 PM Publicado: #204
Dios Matemático Supremo Grupo: Colaborador Silver Mensajes: 648 Registrado: 26-October 13 Desde: Tokyo-3 Miembro Nº: 123.749 Nacionalidad: Sexo:	CITA(Adrianocor @ Feb 16 2015, 05:08 PM) edite el post anterior Correcto. Queda pendiente la solución con euclidea, pero la puesta con trigonometría es igualmente válida. Proponga -------------------- Pro Tip: Es siempre recomendable saltarse los posts de Insanee/Legition I wish, that I could turn back time 'cos now the guilt is all mine can't live without the trust from those you love I know we can't forget the past you can't forget love & pride because of that, it's killing me inside

Adrianocor Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Feb 16 2015, 04:58 PM Publicado: #205
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 325 Registrado: 18-March 14 Miembro Nº: 127.725 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: Sea ABC un triángulo equilátero y sean M y N puntos de AB y AC, respectivamente, tales que el segmento MN sea tangente a la circunferencia inscrita en ABC. Demostrar que:<br />$ $TEX: \[\large \frac{AM}{MB}+\frac{AN}{NC}=1\]<br />$ Hint (opcional) Considere el perimetro de AMN Mensaje modificado por Adrianocor el Feb 16 2015, 05:40 PM

juancodmw Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Feb 16 2015, 08:06 PM Publicado: #206
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 783 Registrado: 23-April 13 Desde: Constitución Miembro Nº: 118.027 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	sea 2a el lado del triangulo, se sigue que el lado de la circunferencia inscrita es $TEX: $\frac{a}{\sqrt{3}}$$ , sea P el punto de tangencia de MN con la circunferencia, se tiene que MP=b y NP=c, de donde no es difícil ver que el área del cuadrilátero MBCN es $TEX: $\frac{2a^{2}+a(b+c)}{\sqrt{3}}$$ , por lo que el área del AMN es $TEX: $\frac{a^{2}-a(b+c)}{\sqrt{3}}$$ , por teorema del coseno en AMN se tiene que: $TEX: $a^{2}-a(b+c)=3bc$$ por lo que el área de AMN es: $TEX: $bc\sqrt{3}$$ (i) por heron el área del AMN es: $TEX: $\sqrt{abc(a-(b+c))}$$ (ii) igualando (i) y (ii): $TEX: $bc\sqrt{3}=\sqrt{abc(a-(b+c))}\Longrightarrow 3bc=a^{2}-a(b+c)$$ $TEX: $a^{2}+ab-ac-bc+a^{2}-ab+ac-bc=a^{2}+ab+ac+bc$$ $TEX: $(a-c)(a+b)+(a+c)(a-b)=(a+c)(a+b)$$ $TEX: $\dfrac{a-c}{a+c}+\dfrac{a-b}{a+b}=1$$ $TEX: $\dfrac{AM}{MB}+\dfrac{AN}{NC}=1$$ finalizamos. ojalá haya algo mas lindo que esto. saludos --------------------

ElViejoDelSaco Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Feb 16 2015, 08:59 PM Publicado: #207
Principiante Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 8 Registrado: 16-February 15 Miembro Nº: 135.602 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Por Brianchon en el hexágono degenerado MKBCLN; MC, KL y BN concurren en I, como KL es mediana tenemos AI/IR=1, de donde por el teorema de Van Obel se concluye. 10991080_10206252508174386_9044191796397369405_n.jpg ( 20.07k ) Número de descargas: 0

Adrianocor Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Feb 16 2015, 09:03 PM Publicado: #208
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 325 Registrado: 18-March 14 Miembro Nº: 127.725 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	Juancodmw correcto, propones. Se puede demostrar que el perimetro del triangulo amn es igual al lado del triangulo equilatero, despues la pongo

nosenadapsu Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Feb 16 2015, 09:08 PM Publicado: #209
Dios Matemático Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 297 Registrado: 31-December 14 Miembro Nº: 135.082 Nacionalidad: Colegio/Liceo: Universidad: Sexo:	$TEX: \[<br />\begin{gathered}<br /> NM + CB = NC + MB \hfill \\<br /> AM + MB = AB \hfill \\<br /> \Rightarrow MB = AB - AM \hfill \\<br /> AN + NC = AC \hfill \\<br /> \Rightarrow NC = AC - AN \hfill \\<br /> NM + CB = AC - AN + AB - AM \hfill \\<br /> CB = AC + AB - (AN + AM + NM) \hfill \\<br /> x = x + x - \left[ {\Delta AMN} \right] \hfill \\<br /> - x = - \left[ {\Delta AMN} \right] \hfill \\<br /> x = \left[ {\Delta AMN} \right] \hfill \\ <br />\end{gathered} <br />\]<br />$ ahora se sabe que el perímetro de AMN es igual a un lado del triangulo ABC trazamos segmentos de modo de generar un polígono regular,de hay es fácil demostrar que todos los triángulos son congruentes,por lo que los segmentos en AB ESTÁN EN 1:1:1 por lo que AMN es equilatero se sigue... $TEX: \[<br />\frac{{AM}}<br />{{MB}} + \frac{{AN}}<br />{{NC}} = 1 \Leftrightarrow \frac{1}<br />{2} + \frac{1}<br />{2} = 1<br />\]<br />$ Mensaje modificado por nosenadapsu el Feb 16 2015, 09:59 PM Archivo(s) Adjunto(s) n.PNG ( 8.77k ) Número de descargas: 0 -------------------- La mejor salsa del mundo es la hambre, y como no falta a los pobres, siempre comen a gusto

juancodmw Ver Perfil del Miembro Ver los mensajes de este miembro	Feb 16 2015, 09:10 PM Publicado: #210
Dios Matemático Supremo Grupo: Usuario FMAT Mensajes: 783 Registrado: 23-April 13 Desde: Constitución Miembro Nº: 118.027 Nacionalidad: Universidad: Sexo:	CITA(Adrianocor @ Feb 16 2015, 09:03 PM) Juancodmw correcto, propones. Se puede demostrar que el perimetro del triangulo amn es igual al lado del triangulo equilatero, despues la pongo see, es directo, de hecho lo usé pa herón notando que el perímetro era 2a, me gustaría ver tu solucion, en fin, propongo algo en la misma línea que venimos: En un triangulo rectángulo $TEX: $ABC$$ (recto en $TEX: $B$$ ) se ha trazado su circunferencia inscrita, la cual es tangente al lado $TEX: $AB$$ en $TEX: $D$$ , al lado $TEX: $BC$$ en $TEX: $E$$ y al lado $TEX: $AC$$ en $TEX: $F$$ . Si $TEX: $\angle{FDC}=2\angle{DCB}$$ , demuestre que $TEX: $AF=BC$$ . --------------------

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