Maratón Preolímpica, orientada a las nuevas generaciones Opciones

[Adrianocor]

Nota al margen: Queda como desafío dar una solución sin usar trigonometría

Sea K en CH tal que <BKH=<BAC=2a, luego <CBK=a, luego el triángulo CBK es k-isósceles, CK=KB=x
y KH=HA=y sabemos que x+2y=11 y que x^2=y^2+16 , de ahi sale y=3, x=5

[vocin]

Llamemos . Primero, demostraremos por inducción que .

El caso base ya lo tenemos (para n=0). Hagamos el paso inductivo. Ya que , tenemos que , de donde ; completando la demostración por inducción.

Ahora, basta con considerar el también polinomio , que gracias a lo demostrado arriba, tiene infinitos ceros (uno por cada potencia de 2), lo que lo hace el polinomio nulo. Esto implica que , para una constante arbitraria k. Luego de reemplazar, se hace evidente que sirve siempre y cuando k=0.

En conclusión, los polinomios que cumplen son los de la forma , con k distinto de 0.

[Cenizas con Most...]

Llamemos . Primero, demostraremos por inducción que .

El caso base ya lo tenemos (para n=0). Hagamos el paso inductivo. Ya que , tenemos que , de donde ; completando la demostración por inducción.

Ahora, basta con considerar el también polinomio , que gracias a lo demostrado arriba, tiene infinitos ceros (uno por cada potencia de 2), lo que lo hace el polinomio nulo. Esto implica que , para una constante arbitraria k. Luego de reemplazar, se hace evidente que sirve siempre y cuando k=0.

En conclusión, los polinomios que cumplen son los de la forma , con k distinto de 0.

Buena **, dispara.

[vocin]

En base a lo que comentabas arriba de que te pareció simpático que existiese una solución puramente geométrica al problema anterior, es que ese tipo de problemas tienen truco xDD

Un user de acá, de cuyo nombre no quiere acordarme, me lo comentó hace un tiempo. La idea base es que cuando tienes 2a y a, sospeches en formar triángulos isósceles, con (por ejemplo) el 2a externo a un triángulo isósceles a-a. Es más difícil explicarlo que ejecutarlo, para eso ver la solución de arriba.

Es por ello que ahora voy a tomarme de colocar DOS problemas, pero con restricción adicional. Si el user ya ha contestado antes, tiene que hacer ambos, si es un nuevo, puede hacer uno. Así que ánimo a atacar :3

P1: En el triángulo ABC, de ángulos y , se traza la transversal de gravedad (con D en AB), de manera que . Calcule x.

P2: En el triángulo ABC, recto en B, se traza un segmento CD, de manera que D está en AB, , y . Calcule

Mensaje modificado por vocin el Feb 16 2015, 03:09 PM

[Adrianocor]

P2:
Sea D'C la reflexión de DC en BC, es fácil ver que <ACB=90-x y <DCB=<D'CB=2x-90, luego <ACD' vale x osea que el triángulo ACD' es D'-isósceles con lo cual AD'=CD'=CD=AD+10, pero AD'=AD+2DB, despejando, DB=5

P1:ya va.. voy a comer
sea c =AD=DB y m la transversal tenemos



y


luego





Mensaje modificado por Adrianocor el Feb 16 2015, 04:08 PM

[Cenizas con Most...]

P1:ya va.. voy a comer

Parece que estuvo bueno el bajón pues que ni señales da para el problema 1

[vocin]

La solución del P2 está impecable, el problema me apareció en la prueba de TRM I de geometría (2014), problema 10. Fue probablemente el problema más difícil de la prueba, ya que muy pocos alumnos lograron sacarlo.

Edit: Como acotación, otra manera de ver el isósceles era darse cuenta que el externo al AD'C es 2x, por la reflexión.

Mensaje modificado por vocin el Feb 16 2015, 01:49 PM

[Adrianocor]

El p1 me salió con analítica , seguramente hay una forma euclídea pero aún no la veo,

[vocin]

Si mi memoria no falla, el P1 lo saqué de una guía del PDV (ni idea si realmente creen que hay problemas así en la PSU), y mi primera demostración fue con trigonometría (teo del seno en el CDA, CDB, igualar y resolver). Fue seba^2 el que me ayudó con la demostración puramente geométrica

[Adrianocor]

P1: En el triángulo ABC, de ángulos y , se traza la transversal de gravedad (con D en AB), de manera que . Calcule x.

Estas seguro que el ángulo que vale x no es el CBA??