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> Maratón Preolímpica, orientada a las nuevas generaciones
Cenizas con Most...
mensaje Jan 18 2015, 08:15 PM
Publicado: #181


Dios Matemático
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CITA(vocin @ Jan 18 2015, 08:02 PM) *
Considere un polinomio TEX: \( P(x) \), de grado 3 y coeficientes enteros, para el que existen tres enteros distintos TEX: \( a, b, c \) tales que TEX: \( P(a)=P(b)=P©=2 \). Demuestre que no existe otro entero TEX: \( d \) tal que TEX: \( P(d)=3 \)

P.D: Hay un viejo proberbio chino que dice:

"Si ves una desigualdad con cara a Nesbitt, probablemente sea Nesbitt camuflado" -Anónimo


Suponga que esto es falso. Sea TEX: $p(X)=uX^3+vX^2+wX+p(0)$. Es evidente que TEX: $d\not \in \{a,b,c\}$. Vea que
TEX: $1=p(d)-p(a)= u(d^3-a^3)+v(d^2-a^2)+w(d-a)=(d-a)\cdot K$
siendo TEX: $K=ud^2+uda+ua^2+vd+va+w$. Se sigue que TEX: $d-a|1$, o sea TEX: $d-a\in \{-1,1\}$. Del mismo modo TEX: $d-b\in \{-1,1\}$ y TEX: $d-c\in \{-1,1\}$. Sin embargo esto es imposible pues $a,b,c$ son tres enteros distintos. Con esto se concluye. TEX: $\blacksquare$


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vocin
mensaje Jan 18 2015, 08:20 PM
Publicado: #182


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Correcto. Mi solución era bastante similar, consideraba el polinomio TEX: \( P(x)-2=q(x-a)(x-b)(x-c) \) y desde ahí concluía de una manera idéntica a la tuya. El problema fue sacado del libro "Principio de las casillas", de los mexicanos; aunque ellos indican que es de una olimpiada Rusa, año 2010.

Propones.


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mensaje Jan 18 2015, 08:28 PM
Publicado: #183


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Cedo mi turno al primero que llegue.


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nagernager
mensaje Jan 18 2015, 08:33 PM
Publicado: #184


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Bueno, para seguir con la maratón propongo uno de teoría de números :
TEX: Sean $a$ y $b$ enteros positivos tales que $(ab + 1)$ divide a $a^2+b^2$

TEX: Demostrar que :

TEX: $<br />\dfrac{a^{2}+b^{2}}{ab +1}$<br />

TEX: es el cuadrado de un entero.

Mensaje modificado por nagernager el Jan 18 2015, 08:34 PM
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juancodmw
mensaje Feb 15 2015, 07:17 PM
Publicado: #185


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ya q se estancó, revivo esto con:

Sea TEX: $ABC$ un triángulo acutángulo en donde la altura TEX: $BH$, relativa al lado TEX: $AC$, mide 4. Si se cumple que TEX: $\angle{CAB}=2\angle{ACB}$ y que TEX: $AC= 11$, halla el valor del área del triángulo rectángulo TEX: $BHC$.

facilito.


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mensaje Feb 15 2015, 08:52 PM
Publicado: #186


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CITA(juancodmw @ Feb 15 2015, 07:17 PM) *
ya q se estancó, revivo esto con:

Sea TEX: $ABC$ un triángulo acutángulo en donde la altura TEX: $BH$, relativa al lado TEX: $AC$, mide 4. Si se cumple que TEX: $\angle{CAB}=2\angle{ACB}$ y que TEX: $AC= 11$, halla el valor del área del triángulo rectángulo TEX: $BHC$.

facilito.


Esto es nivel olimpiadas? Dx

Sea TEX: $\gamma=\measuredangle BCA$. Con conocimiento básico de trigonometría en triángulos rectángulos se tiene que TEX: $|AH|=4\cdot \cot(2\gamma)$ y TEX: $|CH|=4\cdot \cot(\gamma)$. Luego
TEX: $11=|AC|=4(\cot(2\gamma)+\cot(\gamma)=4(\dfrac{1-\tan^2(\gamma)}{2\tan(\gamma)}+\dfrac{1}{\tan(\gamma)})$
Esto significa que TEX: $2\tan^2(\gamma)+11\tan(\gamma)-6=0$, o sea TEX: $\tan(\gamma)\in \{-6, \dfrac{1}{2}\}$. Al ser TEX: $\triangle ABC$ un triángulo acutángulo, entonces TEX: $\tan(\gamma)>0$, o sea TEX: $\cot(\gamma)=2$. Finalmente el área de TEX: $\triangle BHC$ es TEX: $\dfrac{1}{2}|BH|\cdot |HC|=16$. TEX: $\blacksquare$

juancodmw ¿Recibiste permiso de nagernager para postear un problema? ¿Le consultaste?

nagernager Vieta Jumping es algo muy desconocido para los inexpertos, y para los expertos es un problema demasiado, demasiado clásico. Supongo que tu repertorio es más completo, ¿no?


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Adrianocor
mensaje Feb 15 2015, 08:53 PM
Publicado: #187


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Sea CH=x,
TEX: $tan\alpha=\frac{4}{x}$ $ \wedge$ $ tan2\alpha =\frac{4}{11-x}$
TEX: además $tan2\alpha=\frac{2tan\alpha}{1-tan^{2}\alpha}$
TEX: Reemplazando queda la cuadrática $12x^{2}-88x-64 \Rightarrow x=8 $
Y el área queda 16

Mensaje modificado por Adrianocor el Feb 15 2015, 08:53 PM
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juancodmw
mensaje Feb 15 2015, 08:59 PM
Publicado: #188


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salió en una olimpiada peruana, cenizas, proponga (el loco no se conecta mucho, y al ver que no cambiaba el problema, ya que correspondía que lo cambiara, o al menos dar un hint, me tomé la libertad de cambiarlo). saludos


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vocin
mensaje Feb 15 2015, 09:02 PM
Publicado: #189


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Nota al margen: Queda como desafío dar una solución sin usar trigonometría tongue.gif


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mensaje Feb 15 2015, 09:06 PM
Publicado: #190


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CITA(vocin @ Feb 15 2015, 09:02 PM) *
Nota al margen: Queda como desafío dar una solución sin usar trigonometría tongue.gif


En serio hay una? Wow, solamente ocupé lo primero que se me ocurrió! Que buena!

Ya, mi propuesto es el siguiente.

Encuentre todos los polinomios TEX: $p\in \mathbb{R}[X]$ que satisfacen la siguiente condición:

Si TEX: $a,b,c\in \mathbb{R}\setminus \{0\}$ satisfacen que TEX: $\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}=\dfrac{1}{c}$, entonces TEX: $\dfrac{1}{p(a)}+\dfrac{1}{p(b)}=\dfrac{1}{p©}$


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